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潘勒韋分析

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潘勒韋分析原是保羅·潘勒韋在1895年關於非線性常微分方程可積性的理論,後經數學家推廣到分析非線性偏微分方程中,並發展出幾種程序,常見的有Ablowitz-Ramani-Segur(ARS)程序、Weiss-Tabor-Carnevale(WTC)程序和Kruskal簡化法等。潘勒韋分析的過程複雜,需藉助MapleMathematica等計算機代數系統進行運算[1]

Kruskal 簡化法原理

對於給定的 偏微分方程

   

假設其解可展開為Laurent級數形式:

設定方程解的首項目可以表示為

代人原式,平衡φ的冪次,得到一個含共振點的遞推關係,如果對於任意的u(j)、φ,此遞推關係是自相容的,則原來的方程是可積的。

實例

伯格斯方程的潘勒韋分析

作Laurent級數展開

其中 是非特徵奇異點流型 和 u[0]≠0附近的解析函數。

設定方程解的首項可以表示為

代人原式,得到

平衡最高階微商與非線性項,得到:

ρ=1,u[0] = 2 b/a;

代人偏微分方程,

φ的最低次項為


代入伯格斯方程,

因此 j=-1,2

再帶入原方程得:

整理後,令其φ 的2次、1次,及常數項為零 得到一組多項式方程組:

伯格斯方程通過潘勒韋測試的條件是 在截短短展開式中,φ、u[2] 是任意函數。

經過一系列運算可知 u[2],φ為任意函數,伯格斯方程乃潘勒韋可積,其解有如下形式:

參考文獻

  1. ^ Inna Shingareva, Carlos Lizarrraga-Celyaya Solving Nonlinear Partial Differential Equations with Maple and Mathematica, SpringerWienNewYork