普羅海特-蘇-摩爾斯常數

普羅海特-蘇-摩爾斯常數
普羅海特-蘇-摩爾斯常數
識別
種類	無理數; 超越數
符號
位數數列編號	A014571
性質
定義	，其中為蘇-摩爾斯數列（英語：Thue–Morse sequence）中的第i個元素。
連分數	[0; 2, 2, 2, 1, 4, 3, 5, 2, 1, 4, 2, 1, 5, 44, 1, 4, 1, 2, 4, 1, …]
表示方式
值	0.41245403364...
二進制	0.011010011001011010010110…
十進制	0.412454033640107597783361…
十六進制	0.699696699669699696696996…
	閱; 論; 編;

普羅海特-蘇-摩爾斯常數（Prouhet–Thue–Morse constant）是數學中的常數，符號為 $\tau$ ，得名自歐仁·普羅海特（法語：Eugène Prouhet）、阿克塞爾·圖厄及馬斯頓·摩斯（英語：Marston Morse），其二進制.01101001100101101001011001101001...為蘇-摩爾斯數列（英語：Thue–Morse sequence），也就是

\tau =\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {t_{i}}{2^{i+1}}}=0.412454033640\ldots

其中 $t_{i}$ 為蘇-摩爾斯數列中的第i個元素。

$t_{i}$ 的其生成級數為：

\tau (x)=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{t_{i}}\,x^{i}={\frac {1}{1-x}}-2\sum _{i=0}^{\infty }t_{i}\,x^{i}

可以表示為

\tau (x)=\prod _{n=0}^{\infty }(1-x^{2^{n}}).

這是弗賓納斯多項式（英語：Frobenius polynomial）的乘積，因此可以推廣到任意的域。

普羅海特-蘇-摩爾斯常數已由庫爾特·馬勒（英語：Kurt Mahler）在1929年證明是超越數^[1]。

腳註

^ Mahler, Kurt. Arithmetische Eigenschaften der Lösungen einer Klasse von Funktionalgleichungen. Math. Annalen. 1929, 101: 342–366. JFM 55.0115.01. doi:10.1007/bf01454845.

Allouche, Jean-Paul; Shallit, Jeffrey. Automatic Sequences: Theory, Applications, Generalizations. Cambridge University Press. 2003. ISBN 978-0-521-82332-6. Zbl 1086.11015. .
Pytheas Fogg, N. Substitutions in dynamics, arithmetics and combinatorics. Lecture Notes in Mathematics 1794. Editors Berthé, Valérie; Ferenczi, Sébastien; Mauduit, Christian; Siegel, A. Berlin: Springer-Verlag. 2002. ISBN 3-540-44141-7. Zbl 1014.11015.