刘维尔数

如果一个实数$x$满足，对任意正整数$n$，存在整数$p,q$，其中$q>1$有

$0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}}$

就把$x$叫做刘维尔数。

法国数学家刘维尔在1844年证明了所有刘维尔数都是超越数，第一次说明了超越数的存在。

基本性质

容易证明，刘维尔数一定是无理数。若不然，则$x={\frac {c}{d}},(c,d\in \mathbb {Z} ,d>0)$。 取足够大的$n$使${2^{n-1}}>d$，在${\frac {c}{d}}\neq {\frac {p}{q}}$时有

$\left|x-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {c}{d}}-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {cq-dp}{dq}}\right|\geq {\frac {1}{dq}}>{\frac {1}{2^{n-1}q}}\geq {\frac {1}{q^{n}}}$

与定义矛盾。

刘维尔常数

即

$c=\sum _{j=1}^{\infty }10^{-j!}=0.110001000000000000000001000\ldots$

这是一个刘维尔数。取

$p_{n}=\sum _{j=1}^{n}10^{n!-j!},\quad q_{n}=10^{n!}$

那么对于所有正整数$n$

$\left|c-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|=\sum _{j=n+1}^{\infty }10^{-j!}=10^{-(n+1)!}+10^{-(n+2)!}+{}\cdots <10\cdot 10^{-(n+1)!}\leq {\Big (}10^{-n!}{\Big )}^{n}={\frac {1}{{q_{n}}^{n}}}.$

超越性

所有刘维尔数都是超越数，但反过来并不对。例如，著名的e和$\pi$就不是刘维尔数。实际上，有不可数多的超越数都不是刘维尔数。

证明

刘维尔定理：若无理数$\alpha$是代数数，即整系数$n$次多项式$f$的根，那么存在实数$A>0$，对于所有$p,q\in \mathbb {Z} ,q>0$有

$\left\vert \alpha -{\frac {p}{q}}\right\vert >{\frac {A}{q^{n}}}$

证明：令$M=\max \left\{\left|f'(x)\right||x\in \left[\alpha -1,\alpha +1\right]\right\}$，记$f$的其它的不重复的根为 $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{m}$，取这样的A

$0<A<\min \left(1,{\frac {1}{M}},\left\vert \alpha -\alpha _{1}\right\vert ,\left\vert \alpha -\alpha _{2}\right\vert ,\ldots ,\left\vert \alpha -\alpha _{m}\right\vert \right)$

如果存在使定理不成立的$p,q$，就有

$\left\vert \alpha -{\frac {p}{q}}\right\vert \leq {\frac {A}{q^{n}}}\leq A<\min \left(1,{\frac {1}{M}},\left\vert \alpha -\alpha _{1}\right\vert ,\left\vert \alpha -\alpha _{2}\right\vert ,\ldots ,\left\vert \alpha -\alpha _{m}\right\vert \right)$

那么，${\frac {p}{q}}\in \left[\alpha -1,\alpha +1\right]\land {\frac {p}{q}}\notin \left\{\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{m}\right\}$

据拉格朗日中值定理，存在$\alpha$和${\frac {p}{q}}$之间的$x_{0}$使得

$f(\alpha )-f(p/q)=(\alpha -p/q)\cdot f'(x_{0})$

有

$\left\vert (\alpha -p/q)\right\vert =\left\vert f(\alpha )-f(p/q)\right\vert /\left\vert f'(x_{0})\right\vert =\left\vert f(p/q)/f'(x_{0})\right\vert \,$

$f$是多项式，所以

$\left\vert f(p/q)\right\vert =\left\vert \sum _{i=0}^{n}c_{i}p^{i}q^{-i}\right\vert ={\frac {\left\vert \sum _{i=0}^{n}c_{i}p^{i}q^{n-i}\right\vert }{q^{n}}}\geq {\frac {1}{q^{n}}}$

由于$\left|f'(x_{0})\right|\leq M$和$1/M>A$

$\left\vert \alpha -p/q\right\vert =\left\vert f(p/q)/f'(x_{0})\right\vert \geq 1/(Mq^{n})>A/q^{n}\geq \left\vert \alpha -p/q\right\vert$

矛盾。

证明刘维尔数是超越数：有刘维尔数$x$，它是无理数，如果它是代数数则

$\exists n\in \mathbb {Z} ,A>0\forall p,q\left(\left\vert x-{\frac {p}{q}}\right\vert >{\frac {A}{q^{n}}}\right)$

取满足${\frac {1}{2^{r}}}\leq A$的正整数$r$，并令$m=r+n$，存在整数$a,b$其中 $b>1$有

$\left|x-{\frac {a}{b}}\right|<{\frac {1}{b^{m}}}={\frac {1}{b^{r+n}}}={\frac {1}{b^{r}b^{n}}}\leq {\frac {1}{2^{r}}}{\frac {1}{b^{n}}}\leq {\frac {A}{b^{n}}}$

与上式矛盾。故刘维尔数是超越数。

参见

• 丢番图逼近

外部链接

• The Beginning of Transcendental Numbers （页面存档备份，存于互联网档案馆）