小雙三斜三十二面體

小雙三斜三十二面體
類別	均勻星形多面體
對偶多面體	小三角六邊形二十面體
識別
名稱	小雙三斜三十二面體
參考索引	U30, C39, W70
鮑爾斯縮寫; （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	Sidtid
數學表示法
考克斯特符號; （英語：Coxeter-Dynkin diagram）	;
施萊夫利符號	a{5,3}
威佐夫符號; （英語：Wythoff symbol）	3 \| 5/2 3
性質
面	32
邊	60
頂點	20
歐拉特徵數	F=32, E=60, V=20 （χ=-8）
組成與佈局
面的種類	20個正三角形{3}; 12個正五角星{5/2}
頂點圖	(3.5/2)3
對稱性
對稱群	Ih, [5,3], *532
圖像
	; (3.5/2)3; （頂點圖）
	; 小三角六邊形二十面體; （對偶多面體）
	閱; 論; 編;

在幾何學中，小雙三斜三十二面體是一種星形均勻多面體，屬於星形多面體，由20個正三角形和12個五角星形組成^[1]，索引為U₃₀，對偶多面體為小三角六邊形二十面體，其外觀與雙三斜十二面體類似，差別在於雙三斜十二面體在小雙三斜三十二面體的三角形面處被替換成較深的凹陷，而小雙三斜三十二面體是平面的三角形面^[2]^:123，並且與大雙三斜三十二面體拓樸同構^[3]^[4]，且這些立體皆具有二十面體群對稱性（英語：Icosahedral symmetry）。^[5]^[1]^[6]

性質

小雙三斜三十二面體是一種非凸的均勻多面體，由32個面、60條邊和20個頂點組成^[1]^[5]，歐拉示性數為-8^[1]。在其32個面中，有20個正三角形和12個正五角星^[7]，其中有12個非凸的面^[8]。在其20個頂點中，每個頂點都是3個三角形和3個五角星的公共頂點，具有點可遞的性質，換句話說即每個頂角皆相等，並且這個頂角所對應的多面角之周邊面是以正五角星、正三角形、正五角星、正三角形、正五角星和正三角形的順序排列，這種頂角之面的排列方式在頂點圖中可以表示為 (⁵/₂,3,⁵/₂,3,⁵/₂,3)^[9]^[10]，也可以簡寫為(⁵/₂,3)³^[11]。

外觀

這個多面體在與正十二面體之面的12個相同的正五邊形面之平面上皆有一個五角星面，也有平行於正二十面體之20個正三角形面的面。從頂點圖中可以看到五角星面與三角形面有三組的相交，因此這個立體又可以稱為雙三角二十面十二面體（ditrigonal icosidodecahedron）。^[2]^:106

表示法

小雙三斜三十二面體在考克斯特—迪肯符號（英語：Coxeter-Dynkin diagram）中可以表示為^[11]（x5/2o3o3*a）^[12]或^[12]，在施萊夫利符號中可以表示為a{5,3}，在威佐夫記號（英語：Wythoff symbol）中可以表示為3 | 3 5/2^[13]或3 | 5/2 3。

凸包

小雙三斜三十二面體的凸包是一個柏拉圖立體——正十二面體。^[3]^[7]

凸包	小雙三斜三十二面體

尺寸

若小雙三斜三十二面體的邊長為單位長，則其外接球半徑為：^[1]^[3]^[7]

R={\frac {\sqrt {3}}{2}}\approx 0.8660254

邊長為單位長的小雙三斜三十二面體，中分球半徑為：^[1]

R_{M}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\approx 0.70710678

三角形面之面心共球的球半徑為：^[1]

R

_三角形

\,={\frac {\sqrt {15}}{6}}\approx 0.645497224

五角星面之面心共球的球半徑為：^[1]

R

_五角星

\,={\frac {\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}{6}}\approx 0.6881909602

二面角

小雙三斜三十二面體僅有一種二面角，其為五角星和三角形的二面角，其角度約為142.62度：^[1]

\angle

五角星

,

三角形

\,=\arccos \left(-{\frac {\sqrt {15\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}{15}}\right)=\arccos \left(-{\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {(}}5)}{15}}}\right)

^[3]^[14]

\approx 2.4892345138\approx 142.622631859^{\circ }

頂點座標

邊長長度1個單位長且幾何中心位於原點的小雙三斜三十二面體的頂點座標為^[15]^[16]：

\left(\pm {\frac {1}{2}},\,\pm {\frac {1}{2}},\,\pm {\frac {1}{2}}\right)

^[17]、

\left(0,\,\pm {\frac {1}{2\varphi }},\,\pm {\frac {\varphi }{2}}\right)

^[17]、

\left(\pm {\frac {1}{2\varphi }},\,\pm {\frac {\varphi }{2}},\,0\right)

^[17]、

\left(\pm {\frac {\varphi }{2}},\,0,\,\pm {\frac {1}{2\varphi }}\right)

^[17]，

其中 $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ 為黃金比例。

對偶多面體

小雙三斜三十二面體的對偶多面體是小三角六邊形二十面體。由於小雙三斜三十二面體的凸包為正十二面體，而正十二面體是正二十面體的對偶，因此小雙三斜三十二面體的對偶多面體是一種星形二十面體^[7]^[18]^:42。

參見

小三角六邊形二十面體

參考文獻

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外部連結

埃里克·韋斯坦因. 小雙三斜三十二面體. MathWorld.

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a{5,3}	a{5/2,3}	b{5,5/2}
=	=
小雙三斜三十二面體	大雙三斜三十二面體	雙三斜十二面體
正十二面體 (凸包)	五複合立方體	球面的五複合立方體

閱論編均勻多面體
四面體群對稱	正四面體截角四面體四面半六面體
八面體群對稱	立方體正八面體截角立方體截角八面體截半立方體小斜方截半立方體大斜方截半立方體扭棱立方體八面半八面體立方半八面體小斜方立方體小立方立方八面體非凸大斜方截半立方體星形截角立方體大斜方立方體大立方截半立方體立方截角立方八面體星形截角截半立方體
二十面體群對稱	正十二面體正二十面體小星形十二面體大十二面體大星形十二面體大二十面體截角十二面體截半二十面體截角二十面體小斜方截半二十面體大斜方截半二十面體扭棱十二面體大雙三斜三十二面體小十二面半十二面體大十二面半十二面體小十二面半二十面體大十二面半二十面體小二十面半十二面體大二十面半十二面體小十二面二十面體大十二面二十面體斜方二十面體小斜方十二面體大斜方十二面體小十二面截半二十面體大十二面截半二十面體小雙三角十二面截半二十面體大雙三角十二面截半二十面體小二十面化截半二十面體大二十面化截半二十面體雙三斜十二面體小雙三斜三十二面體大截半二十面體截角大十二面體截半大十二面體小星形截角十二面體大星形截角十二面體截角大二十面體斜方截半大十二面體非凸大斜方截半二十面體二十面截角十二面十二面體二十面化截半大十二面體截角截半大十二面體大截角截半二十面體大二重斜方截半二十面體大二重扭稜二重斜方十二面體完全扭稜二十面體小反屈扭稜二十面截半二十面體大反屈扭稜截半二十面體扭稜小星形十二面體反扭稜小星形十二面體扭稜大星形十二面體反扭稜大星形十二面體大扭稜十二面截半二十面體扭稜二十面化截半大十二面體
其他	柱狀均勻多面體星形均勻多面體

小雙三斜三十二面體

性質

外觀

表示法

凸包

尺寸

二面角

頂點座標

對偶多面體

相關多面體

對偶複合體

參見

參考文獻

外部連結