圓錐曲線

圓錐曲線

圓錐曲線（英語：conic section），又稱圓錐截痕、圓錐截面、二次平面曲線，是數學、幾何學中透過平切圓錐（嚴格為一個正圓錐面和一個平面完整相切）得到的曲線，包括圓，橢圓，拋物線，雙曲線及一些退化類型。

圓錐曲線在約西元前200年時就已被命名與研究，其發現者為古希臘的數學家阿波羅尼奧斯，當時阿波羅尼阿斯已對它們的性質做過系統性的研究。

圓錐曲線應用最廣泛的定義為（橢圓，拋物線，雙曲線的統一定義）：動點到一定點（焦點）的距離與其到一定直線（準線）的距離之比為常數（離心率$e$）的點的集合是圓錐曲線。對於$0<e<1$得到橢圓，對於$e=1$得到拋物線，對於$e>1$得到雙曲線。

定義

有同一焦點 $F$ 和同一準線 $l$ 的：橢圓（$e$=1/2）、拋物線（$e$=1）、雙曲線（$e$=2）。

設$F$為定點，$l$為定直線，$e$為正常數，稱滿足${\frac {|PF|}{|Pl|}}=e$的動點$P$的軌跡為圓錐曲線。

其中$F$為其焦點，$l$為準線，$e$為離心率。

由此可知，圓錐曲線的極坐標參數方程為$\rho =e(d-\rho \cos \theta )$或$\rho ={\frac {ed}{1\pm e\cos \theta }}$（正負號由所選焦點與定直線所處的位置不同而引起）。 其中$\theta$為$PF$與極軸的夾角，$d$為定直線$x=d$，即準線到焦點的距離。

將參數方程轉換成直角坐標方程易得，

當$e=1$時，曲線為拋物線。

當$e\neq 1$時，

當$0<e<1$時，曲線為橢圓。

當$e>1$時，曲線為雙曲線。

圓錐曲線的類型

圓錐曲線	方程	離心率（e）	半焦距（c）	半正焦弦（ℓ）	焦點準線距離（p）
圓	$x^{2}+y^{2}=a^{2}\,$	$0\,$	$0\,$	$a\,$	$\infty$
橢圓	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	${\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$	${\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$	${\frac {b^{2}}{a}}$	${\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$
拋物線	$y^{2}=4ax\,$	$1\,$	$-\,$	$2a\,$	$2a\,$
雙曲線	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	${\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$	${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$	${\frac {b^{2}}{a}}$	${\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

圓錐曲線的類型：1.拋物線2.圓和橢圓3.雙曲線

橢圓，圓：當平面只與圓錐面一側相交，交截線是閉合曲線的時候，且不過圓錐頂點，結果為橢圓。如果截面與圓錐面的對稱軸垂直，結果為圓。

拋物線：截面僅與圓錐面的一條母線平行，結果為拋物線。

雙曲線：截面與圓錐面兩側都相交，且不過圓錐頂點，結果為雙曲線。

在平面通過圓錐的頂點的時候，有一些退化情況。交截線可以是一個直線、一個點、或一對直線。

幾何性質

橢圓（ellipse）

橢圓上的點到兩個焦點的距離和等於長軸長（2a）。

拋物線（Parabola）

拋物線上的點到焦點的距離等於該點到準線的距離。

雙曲線（Hyperbola）

雙曲線上的點到兩個焦點的距離之差的絕對值等於貫軸長（2a）。

離心率

有固定焦點F和準線的圓（e=0) 、橢圓（e=1/2）、拋物線 (e=1)和雙曲線（e=2）。

對於橢圓和雙曲線，可以採用兩種焦點-準線組合，每個都給出同樣完整的橢圓或雙曲線。從中心到準線的距離是$a/e\$，這裏的$a\$是橢圓的半長軸，或雙曲線的半貫軸。從中心到焦點的距離是$ae\$。

在圓的情況下，$e=0$且準線被假想為離中心無限遠。這時聲稱圓由距離是到L的距離的e倍的所有點組成是沒有意義的。

圓錐曲線的離心率因此是對它偏離於圓的程度的度量。

對於一個給定的$a\$，$e\$越接近於1，半短軸就越小。

笛卡爾坐標

在笛卡爾坐標系內，二元二次方程的圖像可以表示圓錐曲線，並且所有圓錐曲線都以這種方式引出。方程有如下形式

$Q(x,y)=Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$

此處參數$A\,$，$B\,$和$C\,$不得皆等於$0\$。

矩陣表示

上述方程可以使用矩陣表示爲

$\left[{\begin{matrix}x&y\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}x\\y\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}D&E\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}x\\y\end{matrix}}\right]+F=0$

亦可以寫作

$\left[{\begin{matrix}x&y&1\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}x\\y\\1\end{matrix}}\right]=0$

這是在射影幾何中使用的齊次形式的一個特例。 (參見齊次坐標)

下文中記$A_{33}=\left[{\begin{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right]$，記$A_{Q}={\begin{bmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{bmatrix}}$。

類別

藉由$A_{Q}$，我們可以判定圓錐曲線是否退化。

• 若$\det(A_{Q})=0$，則圓錐曲線$Q$退化。
• 若$\det(A_{Q})\neq 0$，則圓錐曲線$Q$未退化。

若圓錐曲線未發生退化，則

• 若 $\det(A_{33})>0$, 方程表示一個橢圓；
  • 對於橢圓，當$(A+C)\det(A_{Q})<0$時，$Q$爲一個實橢圓；當$(A+C)\det(A_{Q})>0$時$Q$爲一個虛橢圓。（例如，$2x^{2}+y^{2}+10=0$沒有任何實值解，是一個虛橢圓）
  • 特別的，若$A=C$ ，$B=0$且$D^{2}+E^{2}-4AF>0\,$，作爲橢圓的特殊情況，$Q$表示一個圓。
• 若 $\det(A_{33})=0$，$Q$表示一條拋物線；
• 若 $\det(A_{33})<0$，$Q$表示一條雙曲線；
  • 若$A+C=0$ ，$Q$表示一條直角雙曲線。

若圓錐曲線發生退化，則

• 若$\det(A_{33})>0$，作爲橢圓的退化，$Q$爲一個點。
• 若$\det(A_{33})=0$，作爲拋物線的退化，$Q$爲兩條平行直線。
  • 若$D^{2}+E^{2}>4(A+C)F$，$Q$爲兩條不重合的平行直線。
  • 若$D^{2}+E^{2}=4(A+C)F$，$Q$爲兩條重合的平行直線。（特別的，此時$A_{Q}$的秩爲1）
  • 若$D^{2}+E^{2}<4(A+C)F$，$Q$直線不存在與實平面中。
• 若$\det(A_{33})<0$，作爲雙曲線的退化，$Q$爲兩條相交直線。（同時，也是雙曲線的漸近線）

在此處的表達中，$A$和$B$爲多項式系數，而非半長軸$A$和半短軸$B$。

不變量

矩陣$A_{Q}$、$A_{33}$的行列式，以及$A+C$（$A_{33}$的跡）在任意的旋轉和座標軸的交換中保持不變。 常數項$F$以及$D^{2}+E^{2}$僅在旋轉中保持不變。

離心率

$Q$的離心率可被寫作關於$Q$系數的函數。 若 $\det(A_{33})=0$，$Q$爲 拋物線，其離心率爲1。其它情況下，假設$Q$表達一個未退化的橢圓或雙曲線，那麼

$e={\sqrt {\frac {2{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}{\eta (A+C)+{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}}},$

此處若$\det(A_{Q})$爲負則$\eta =1$；若$\det(A_{Q})$爲正則$\eta =-1$。

此外，離心率$e$也是下述方程的一個正根

$\Delta e^{4}+[(A+C)^{2}-4\Delta ]e^{2}-[(A+C)^{2}-4\Delta ]=0,$

此處 $\Delta =\det(A_{33})$ 。對於橢圓或拋物線，該方程只有一個正根，即其離心率；對於雙曲線，其有兩個正根，其中的一個爲其離心率。

轉換爲標準方程

對於橢圓或雙曲線，$Q$可用變換後的變量$x',y'$表示爲如下所示的標準形式

${\frac {x'^{2}}{-S/\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}}}+{\frac {y'^{2}}{-S/\lambda _{1}\lambda _{2}^{2}}}=1,$

或等價的

${\frac {x'^{2}}{-S/\lambda _{1}\Delta }}+{\frac {y'^{2}}{-S/\lambda _{2}\Delta }}=1,$

此處，$\lambda _{1}$和$\lambda _{2}$爲$A_{33}$的特徵值，也即下述方程的兩根：

$\lambda ^{2}-(A+C)\lambda +(AC-(B/2)^{2})=0$

同時，$S=\det(A_{Q})$，$\Delta =\lambda _{1}\lambda _{2}=\det(A_{33})$。

透過座標變換，各種類型的圓錐曲線都可以表示爲其標準形式：

方程式	圓	橢圓	拋物線	雙曲線
標準方程式	${x^{2}}+{y^{2}}=a^{2}\$	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1\$	$y^{2}=4ax\,$	${x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}=1\$
參數方程式	$a\cos \theta ,a\sin \theta \,$	$a\cos \theta ,b\sin \theta \,$	$at^{2},2at\,$	$a\sec \theta ,b\tan \theta \,$或 $\pm a\cosh u,b\sinh u\,$

極坐標

橢圓的半正焦弦

圓錐曲線的半正焦弦（semi-latus rectum）通常指示為$\ell$，是從單一焦點或兩個焦點中的一個，到圓錐曲線自身的，沿着垂直於主軸（長軸）的直線度量的距離。它有關於半長軸$a$，和半短軸$b$，通過公式$a\ell =b^{2}\$或$\ell =a(1-e^{2})\$。

在極坐標系中，圓錐曲線有一個焦點在原點，如果有另一個焦點的話它在正x軸上，給出自方程

$r={\ell \over (1-e\cos \theta )}$，

或者，

${\frac {1}{r}}={\frac {1}{\ell }}(1-e\cos \theta )$，

如上，對於$e=0$得到一個圓，對於$0<e<1$得到橢圓，對於$e=1$得到拋物線，對於$e>1$得到雙曲線。

齊次坐標

在齊次坐標下圓錐曲線可以表示為：

$A_{1}x^{2}+A_{2}y^{2}+A_{3}z^{2}+2B_{1}xy+2B_{2}xz+2B_{3}yz=0\;$

或表示為矩陣：

${\begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}A_{1}&B_{1}&B_{2}\\B_{1}&A_{2}&B_{3}\\B_{2}&B_{3}&A_{3}\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=0$

矩陣$M={\begin{bmatrix}A_{1}&B_{1}&B_{2}\\B_{1}&A_{2}&B_{3}\\B_{2}&B_{3}&A_{3}\end{bmatrix}}$叫做「圓錐曲線矩陣」。

$\Delta =det(M)={\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}&B_{2}\\B_{1}&A_{2}&B_{3}\\B_{2}&B_{3}&A_{3}\end{vmatrix}}$叫做圓錐曲線的行列式。如果$\Delta =0$則這個圓錐曲線被稱為退化的，這意味着圓錐曲線是兩個直線的聯合（兩相交直線，兩平行直線或兩重合直線）或一點。。

例如，圓錐曲線${\begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=0$退化為兩相交直線：$\{x^{2}-y^{2}=0\}=\{(x+y)(x-y)=0\}=\{x+y=0\}\cup \{x-y=0\}$。

類似的，圓錐曲線有時退化為兩重合直線（兩直線重合成一條）: $\{x^{2}+2xy+y^{2}=0\}=\{(x+y)^{2}=0\}=\{x+y=0\}\cup \{x+y=0\}=\{x+y=0\}$。

$\delta ={\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}\\B_{1}&A_{2}\end{vmatrix}}$被稱為圓錐曲線的判別式。如果$\delta =0$則圓錐曲線是拋物線，如果$\delta <0$則是雙曲線，如果$\delta >0$則是橢圓。如果$\delta >0$且$A_{1}=A_{2}$，圓錐曲線是圓；如果$\delta <0$且$A_{1}=-A_{2}$，它是直角雙曲線。可以證明在複射影平面$\mathbb {CP} ^{2}$中，兩個圓錐曲線共有四個點（如果考慮重根），所以永不多於4個交點並總有1個交點（可能性：4個不同的交點，2個單一交點和1個雙重交點，2個雙重交點，1單一交點和1個三重交點，1個四重交點）。如果存在至少一個重根$>1$的交點，則兩個圓錐曲線被稱為相切的。如果只有一個四重交點，兩個圓錐曲線被稱為是共振的。

進一步的，每個直線與每個圓錐曲線相交兩次。如果兩交點是重合成一點，則這個線被稱為切線。因為所有直線交圓錐曲線兩次，每個圓錐曲線有兩個點在無窮遠（與無窮遠線的交點）。如果這些點是實數的，圓錐曲線必定是雙曲線；如果它們是虛共軛，圓錐曲線必定是橢圓，如果圓錐曲線有雙重點在無窮遠，則它是拋物線。如果在無窮遠的點是$(1,i,0)$和$(1,-i,0)$，則圓錐曲線是圓。如果圓錐曲線有一個實數點和一個虛數點在無窮遠，或它有兩個不共軛的虛數點，它不是拋物線、不是橢圓、不是雙曲線。

外部連結

• Conic sections（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） at Special plane curves（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）.
• 埃里克·韋斯坦因. Conic Section. MathWorld. 
• 埃里克·韋斯坦因. Conic Section Directrix. MathWorld. 
• 埃里克·韋斯坦因. Focus. MathWorld. 
• Determinants and Conic Section Curves
• Occurrence of the conics. Conics in nature and elsewhere.