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卡拉楚巴算法

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洋紅色箭頭表示乘法,琥珀色表示加法,銀色表示減法,淺青色表示左移。A、B、C顯示了用於獲得中間值的遞歸。
Анато́лий Алексе́евич Карацу́ба
Анато́лий Алексе́евич Карацу́ба

Karatsuba算法Karatsuba乘法卡拉楚巴乘法卡拉楚巴算法(俄語:Алгоритм Карацубы),是一種快速乘法算法,由1960年阿納托利·阿列克謝耶維奇·卡拉楚巴英語Anatoly_Karatsuba提出並於1962年發表。[1][2][3]它將兩個位數字相乘所需的一位數乘法次數減少到了至多(如果是2的乘方,則正好為)。因此它比要次個位數乘法的經典算法要快。例如,對於兩個1024位的數相乘(),卡拉楚巴算法需要次個位數乘法,而經典算法需要次。Toom–Cook算法是此算法更快速的泛型。對於充分大的Schönhage-Strassen演算法甚至更快,算法的時間複雜度為

值得一提的是,卡拉楚巴算法是第一個比小學二次乘法算法漸進快速的算法。

算法

基本步驟

卡拉楚巴算法主要是用於兩個大數的乘法,極大提高了運算效率,相較於普通乘法降低了複雜度,並在其中運用了遞歸的思想。基本的原理和做法是將位數很多的兩個大數分成位數較少的數,每個數都是原來位數的一半。這樣處理之後,簡化為做三次乘法,並附帶少量的加法操作和移位操作。

示例

要計算12345和6789的乘積:

12345 = 12 · 1000 + 345
6789 = 6 · 1000 + 789

對只有三個數進行運算的乘法結果:

z2 = 12 × 6 = 72
z0 = 345 × 789 = 272205
z1 = (12 + 345) × (6 + 789) − z2z0 = 357 × 795 − 72 − 272205 = 283815 − 72 − 272205 = 11538

將三部分結果相加並相應地移位:

結果 = z2 · (Bm)2 + z1 · (Bm)1 + z0 · (Bm)0, i.e.
結果 = 72 · 10002 + 11538 · 1000 + 272205 = 83810205.

注意:中間第三次乘法運算的輸入域小於前兩次乘法的兩倍,其輸出域小於前兩次乘法的四倍,並且基數為1000的進位是根據前兩次乘法計算的,在計算這兩個減法時必須考慮。

實現

偽代碼實現

procedure karatsuba(num1, num2)
  if (num1 < 10) or (num2 < 10)
    return num1*num2
  /* calculates the size of the numbers */
  m = max(size_base10(num1), size_base10(num2))
  m2 = m/2
  /* split the digit sequences about the middle */
  high1, low1 = split_at(num1, m2)
  high2, low2 = split_at(num2, m2)
  /* 3 calls made to numbers approximately half the size */
  z0 = karatsuba(low1,low2)
  z1 = karatsuba((low1+high1),(low2+high2))
  z2 = karatsuba(high1,high2)
  return (z2*10^(2*m2))+((z1-z2-z0)*10^(m2))+(z0)

Python代碼實現

# Python 2 and 3
def karatsuba(num1, num2):
    num1Str, num2Str = str(num1), str(num2)

    if num1Str[0] == '-': return -karatsuba(-num1, num2)
    if num2Str[0] == '-': return -karatsuba(num1, -num2)

    if num1 < 10 or num2 < 10: return num1 * num2
    
    maxLength = max(len(num1Str), len(num2Str))
    num1Str = ''.join(list('0' * maxLength)[:-len(num1Str)] + list(num1Str))
    num2Str = ''.join(list('0' * maxLength)[:-len(num2Str)] + list(num2Str))
    
    splitPosition = maxLength // 2
    high1, low1 = int(num1Str[:-splitPosition]), int(num1Str[-splitPosition:])
    high2, low2 = int(num2Str[:-splitPosition]), int(num2Str[-splitPosition:])
    z0, z2 = karatsuba(low1, low2), karatsuba(high1, high2)
    z1 = karatsuba((low1 + high1), (low2 + high2))
    return z2 * 10 ** (2 * splitPosition) + (z1 - z2 - z0) * 10 ** (splitPosition) + z0

參考文獻

  1. ^ A. Karatsuba and Yu. Ofman. Multiplication of Many-Digital Numbers by Automatic Computers. Proceedings of the USSR Academy of Sciences. 1962, 145: 293–294. 
  2. ^ A. A. Karatsuba. The Complexity of Computations (PDF). Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 1995, 211: 169–183 [2013-07-25]. (原始內容存檔 (PDF)於2020-03-26). 
  3. ^ Knuth D.E.(1969)The art of computer programming. v.2. Addison-Wesley Publ.Co., 724 pp.

外部鏈接