卡拉楚巴算法

洋紅色箭頭表示乘法，琥珀色表示加法，銀色表示減法，淺青色表示左移。A、B、C顯示了用於獲得中間值的遞歸。

Анато́лий Алексе́евич Карацу́ба

Анато́лий Алексе́евич Карацу́ба

Karatsuba算法、Karatsuba乘法、卡拉楚巴乘法、卡拉楚巴算法（俄語：Алгоритм Карацубы），是一種快速乘法算法，由1960年阿納托利·阿列克謝耶維奇·卡拉楚巴提出並於1962年發表。它將兩個$n$位數字相乘所需的一位數乘法次數減少到了至多$3n^{\log _{2}3}\approx 3n^{1.585}$（如果$n$是2的乘方，則正好為$n^{\log _{2}3}$）。因此它比要$n^{2}$次個位數乘法的經典算法要快。例如，對於兩個1024位的數相乘（$n=1024=2^{10}$），卡拉楚巴算法需要$3^{10}=59049$次個位數乘法，而經典算法需要$(2^{10})^{2}=1048576$次。Toom–Cook算法是此算法更快速的泛型。對於充分大的$n(n\gg 1)$，Schönhage-Strassen演算法甚至更快，算法的時間複雜度為$O(n\log n\log \log n)$。

值得一提的是，卡拉楚巴算法是第一個比小學二次乘法算法漸進快速的算法。

算法

基本步驟

卡拉楚巴算法主要是用於兩個大數的乘法，極大提高了運算效率，相較於普通乘法降低了複雜度，並在其中運用了遞歸的思想。基本的原理和做法是將位數很多的兩個大數$x$和$y$分成位數較少的數，每個數都是原來$x$和$y$位數的一半。這樣處理之後，簡化為做三次乘法，並附帶少量的加法操作和移位操作。

示例

要計算12345和6789的乘積：

12345 = 12 · 1000 + 345

6789 = 6 · 1000 + 789

對只有三個數進行運算的乘法結果：

z₂ = 12 × 6 = 72

z₀ = 345 × 789 = 272205

z₁ = (12 + 345) × (6 + 789) − z₂ − z₀ = 357 × 795 − 72 − 272205 = 283815 − 72 − 272205 = 11538

將三部分結果相加並相應地移位：

結果 = z₂ · (B^m)² + z₁ · (B^m)¹ + z₀ · (B^m)⁰, i.e.

結果 = 72 · 1000² + 11538 · 1000 + 272205 = 83810205.

注意：中間第三次乘法運算的輸入域小於前兩次乘法的兩倍，其輸出域小於前兩次乘法的四倍，並且基數為1000的進位是根據前兩次乘法計算的，在計算這兩個減法時必須考慮。

實現

偽代碼實現

procedure karatsuba(num1, num2)
  if (num1 < 10) or (num2 < 10)
    return num1*num2
  /* calculates the size of the numbers */
  m = max(size_base10(num1), size_base10(num2))
  m2 = m/2
  /* split the digit sequences about the middle */
  high1, low1 = split_at(num1, m2)
  high2, low2 = split_at(num2, m2)
  /* 3 calls made to numbers approximately half the size */
  z0 = karatsuba(low1,low2)
  z1 = karatsuba((low1+high1),(low2+high2))
  z2 = karatsuba(high1,high2)
  return (z2*10^(2*m2))+((z1-z2-z0)*10^(m2))+(z0)

Python代碼實現

# Python 2 and 3
def karatsuba(num1, num2):
    num1Str, num2Str = str(num1), str(num2)

    if num1Str[0] == '-': return -karatsuba(-num1, num2)
    if num2Str[0] == '-': return -karatsuba(num1, -num2)

    if num1 < 10 or num2 < 10: return num1 * num2
    
    maxLength = max(len(num1Str), len(num2Str))
    num1Str = ''.join(list('0' * maxLength)[:-len(num1Str)] + list(num1Str))
    num2Str = ''.join(list('0' * maxLength)[:-len(num2Str)] + list(num2Str))
    
    splitPosition = maxLength // 2
    high1, low1 = int(num1Str[:-splitPosition]), int(num1Str[-splitPosition:])
    high2, low2 = int(num2Str[:-splitPosition]), int(num2Str[-splitPosition:])
    z0, z2 = karatsuba(low1, low2), karatsuba(high1, high2)
    z1 = karatsuba((low1 + high1), (low2 + high2))
    return z2 * 10 ** (2 * splitPosition) + (z1 - z2 - z0) * 10 ** (splitPosition) + z0

參考文獻

• Karatsuba's Algorithm for Polynomial Multiplication（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• 埃里克·韋斯坦因. Karatsuba Multiplication. MathWorld. 
• Bernstein, D. J., "Multidigit multiplication for mathematicians（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）". Covers Karatsuba and many other multiplication algorithms.

外部鏈接

• 卡拉楚巴多項式乘法算法 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• 埃里克·韋斯坦因. Karatsuba Multiplication（卡拉楚巴乘法）. MathWorld. 
• Bernstein, D. J., "Multidigit multiplication for mathematicians （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）". Covers Karatsuba and many other multiplication algorithms.