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十九面體

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十九面體
部分的十九面體
扭稜半立方體
扭稜半立方體
十八角錐
十八角錐
十七角柱
十七角柱

幾何學中,十九面體是指有19個面的多面體,在十九面體當中沒有任何一個形狀是正多面體,換言之即正十九面體並不存在,但仍有許多由正多邊形組成的十九面體,例如正十七角柱[1][2],與之拓樸結構類似的十九面體[3][4][5]曾被用於在形狀穩定性的證明[6]

常見的十九面體是十七角柱和十八角錐,也有一些化學結構是十九面體,例如有一種十二個頂點的分子構型,由其在幾何上由十八個三角形和一個四邊形組成[7]。此外要構成十九面體至少要有12個頂點[8]

常見的十九面體

常見的十九面體包含了一些錐體、柱體和一些由錐體與柱體組合並包含19個面形狀,亦有一些拓樸結構明顯與錐體、柱體不同的十九面體,例如空間填充十三面體的對偶多面體。

十八角錐

十八角錐

十八角錐是一種底面十八邊形錐體,是十九面體的一種,其具有19個面、36條邊和19個頂點,其對偶多面體是自己本身[9]。正十八角錐是一種底面為正十八邊形的十八角錐,在施萊夫利符號中可以用{}∨{18}來表示。底邊長為、高為的正十八角錐體積和表面積[9]

十七角柱

十七角柱

十七角柱是一種底面為十七邊形柱體,是十九面體的一種,由19個面51條邊和34個頂點組成。正十七角柱代表每個面都是正多邊形的十七角柱,其每個頂點都是2個正方形和1個十七邊形的公共頂點,頂點圖表示,因此具有每個角等角的性質(點可遞),可以歸類為半正十九面體,不過他跟其他較接近球形的半正多面體相比之下變得比較扁一些。

正十七角柱在施萊夫利符號中可以用{17}×{}或t{2,17}來表示,在考克斯特符號英語Coxeter-Dynkin diagram中可以用node_1 17 node 2 node_1 來表示,在威佐夫符號英語Wythoff symbol中可以利用2 17 | 2來表示,在康威多面體表示法中可以利用P17來表示。底邊長為、高為的正十七角柱體積和表面積[10]

九角錐柱

九角錐柱是指底面為九邊形角錐柱,由19個面、32條邊和19個頂點組成,是一種十九面體。其對偶多面體為九角錐台錐,由於拓樸結構與九角錐柱相同,因此有時會被視作自身對偶多面體。

九角錐台錐

九角錐台錐是指由九角錐台和九角錐組合成的多面體,其有兩種形式:一種是九角錐疊在九角錐台較小的九邊形面、另一種是九角錐疊在九角錐台較大的九邊形面。後者可以視為只截去一個頂點的雙九角錐。

九角錐台錐的拓樸結構與九角錐柱相同,因為九角錐柱可以藉由縮放其九邊形面使圖形變形成九角錐台錐。

十七角錐台

十七角錐台一種底面為時七邊形的錐台,可以視為切去一個頂點的十七角錐。通常其兩個底面形狀會有差異或者相似,而兩個底面都全等的十七角錐台與十七角柱無異,因此十七角錐台的拓樸結構與十七角柱相同,因為十七角柱可以藉由縮放其十七邊形面使圖形變形成十七角錐台。

六角錐反角柱

六角錐反角柱是指底面為六邊形角錐反角柱,可以視為一個六角錐與一個反六角柱底面對底面的組合。

六角錐反角柱不是一個詹森多面體,因為當其所有面都是正多邊形時,其中六個正三角形將會共面,而導致圖形退化成反六角柱。

相同的情形也出現在雙六角錐反角柱上,必須要將部分正多邊形面拉長或扭曲才能構成多面體,導致其無法以所有面皆為正多邊形的形式存在,因此這些多面體可以被歸類為擬詹森多面體[11]

對偶多面體為十九面體的多面體

有些多面體具有19個頂點,因此其對偶多面體為十九面體。例如空間填充十三面體具有19個頂點,因此其對偶多面體是一個十九面體。

空間填充十三面體的對偶多面體

空間填充十三面體的對偶多面體

空間填充十三面體的對偶多面體是一種19面體,其可以視為一種經過扭稜變換的結果,其對應的原像與半立方體類似,但又不相同,其對應的原像有面積為零的退化面。

這個多面體一共有19個面、30條邊和13個頂點,其面由16個三角形和3個梯形所組成。其對偶多面體可以獨立填滿整個三維空間。

十九面體列表

名稱 種類 圖像 符號 頂點 χ 面的種類 對稱性 展開圖
十七角柱 稜柱體 t{2,17}
{17}x{}
node_1 2 node_1 1x 7 node 
34 51 19 2 2個十七邊形
17個矩形
D17h, [17,2], (*17 2 2), order 68
十八角錐 稜錐體 ( )∨{18} 19 36 19 2 1個十八邊形
18個三角形
C18v, [18], (*18 18)
九角錐柱 角錐柱 P9+Y9 19 36 19 2 9個三角形
9個正方形
1個九邊形
C9v, [9], (*99)
九角錐台錐 截角雙錐 19 36 19 2 1個九邊形
9個梯形
9個三角形
C9v, [9], (*99)
十七角錐台 錐台 34 51 19 2 2個十七邊形
17個梯形
D17h, [17,2], (*17 2 2), order 68
六角錐反角柱 角錐反角柱 13 30 19 2 1個六邊形
18個三角形
C6v, [6], (*66)
六角化六角帳塔 帳塔錐 19 36 19 2

12個三角形
6個矩形
1個12邊形

C6v, [6], (*66)
空間填充十三面體[12]
的對偶多面體
扭稜半立方體 13 30 19 2 16個三角形
3個梯形
側錐十四角柱 A14+Y4 19 4個正三角形
13個正方形
2個十四邊形
C2v
二側錐十一角柱 P11+2Y4 19 8個正三角形
9個正方形
2個十一邊形
C2v

參見

  • 十九邊形:同為含19個維面(facet)的形狀,但是位於二維空間。

參考文獻

  1. ^ Murray S. Klamkin. Problems in Applied Mathematics. SIAM. 1990. ISBN 9781611971729. 
  2. ^ Algonquin College, Carleton-Ottawa Mathematics Association. Crux Mathematicorum. 第 6 卷. Algonquin College. 1980: 29. 
  3. ^ University of Calgary. Dept. of Mathematics, Statistics, and Computing Science. Research Paper. 第 101-110 期. 1980: 22. 
  4. ^ Raj Chandra Bose, University of North Carolina (1793-1962). Dept. of Statistics, United States. Air Force. Office of Scientific Research. Proceedings. University of North Carolina. 1970: 232. 
  5. ^ George S. Innis. Existence of Binary Sequences with Prescribed Properties 11 (4): 621–622. doi:10.1137/1011101. 
  6. ^ Michael Goldberg, R. K. Guy, and R. K. Guy. Stability oF Polyhedra. Problem 66-12 11 (1): 621–622. 1969年1月. doi:10.1137/1011014. 
  7. ^ KING, R. Bruce. Supraicosahedral polyhedra in carboranes and metallacarboranes: The role of local vertex environments in determining polyhedral topology and the anomaly of 13-vertex closo polyhedra. Journal of organometallic chemistry, 2007, 692.9: 1773-1782.
  8. ^ Counting polyhedra. numericana.com. [2016-01-10]. (原始內容存檔於2016-05-06). 
  9. ^ 9.0 9.1 Wolfram, Stephen. "Octadecagonal pyramid". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research (英語). 
  10. ^ Wolfram, Stephen. "heptadecagonal prism". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research (英語). 
  11. ^ Kaplan, Craig S.; Hart, George W., Symmetrohedra: Polyhedra from Symmetric Placement of Regular Polygons, Bridges: Mathematical Connections in Art, Music and Science (PDF), 2001 [2016-10-16], (原始內容存檔 (PDF)於2015-09-23) .
  12. ^ Aspace-filling polyhedron with 13 faces. science.unitn.it. 2016-01-10 [2016-08-28]. (原始內容存檔於2017-07-01).