勒貝格測度

在測度論中，勒貝格測度（Lebesgue measure）是歐幾里得空間上的標準測度。對維數為1，2，3的情況，勒貝格測度就是通常的長度、面積、體積。它廣泛應用於實分析，特別是用於定義勒貝格積分。可以賦予勒貝格測度的集合稱為勒貝格可測集；勒貝格可測集 $A$ 的測度記作 $λ (A)$ 。一般來說，我們允許一個集合的勒貝格測度為 $\infty$ ，但是即使如此，在假設選擇公理成立時， $R n$ 仍有勒貝格不可測的子集。不可測集的「奇特」行為導致了巴拿赫-塔斯基悖論這樣的命題，它是選擇公理的一個結果。

勒貝格測度以法國數學家昂利·勒貝格命名。勒貝格於1901年首次提出這一測度，次年又給出勒貝格積分的定義，並收錄進他的學位論文中。

問題起源

人們知道，區間的長度可以定義為端點值之差。若干個不交區間的並的長度應當是它們的長度之和。於是人們希望將長度的概念推廣到比區間更複雜的集合。

我們想構造一個映射 $m$ ，它能將實數集的子集 $E$ 映射到非負實數 $m (E)$ ，並稱這個數為集合 $E$ 的測度。最理想的情況下， $m$ 應該具有以下性質：

$m$ 對於實數集的所有子集 $E$ 都有定義。
對於一個區間 $[a, b]$ ， $m ([a, b])$ 應當等於其長度 $b - a$ 。
$m$ 具有可數可加性。如果 $(E n)$ 是一列不相交的集合，並且 $m$ 在其上有定義，那麼 $m\left(\bigcup _{n}E_{n}\right)=\sum _{n}m(E_{n})$ ，其中 $⋃$ 表示聯集。
$m$ 具有平移不變性。設集合 $E$ 及 $E + k = {x + k : x \in E}$ （即將 $E$ 的每個元素各加上同一個實數 $k$ 所得到的集合），則 $m (E + k) = m (E)$ 。

遺憾的是，這樣的映射是不存在的。人們只能退而求其次，尋找滿足其中部分條件的映射。勒貝格測度是滿足後三條性質的例子。另一個例子是若爾當測度，它只滿足有限可加性。

定義

區間 $I=[a,b]$ 的長度定義為 $|I|=b-a$ 。對 $E\subseteq \mathbb {R}$ ，勒貝格外測度定義為

對每一列能覆蓋 $E$ 的開區間 $\{I_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }$ ，作長度和 $\mu =\sum _{k=0}^{\infty }{|I_{k}|}$ 。所有這些 $\mu$ 組成一個有下界的數集，下確界稱為勒貝格外測度，記做 $\lambda ^{*}(E)$ 。

勒貝格測度定義在勒貝格σ代數上。若集合 $E$ 滿足：

對所有

A\subseteq \mathbb {R}

，皆有

\lambda ^{*}(A)=\lambda ^{*}(A\cap E)+\lambda ^{*}(A\cap E^{c}),

則 $E$ 為勒貝格σ代數的元素，稱為勒貝格可測集。對勒貝格可測集，其勒貝格測度 $\lambda (E)$ 就定義為勒貝格外測度 $\lambda ^{*}(E)$ 。

不在勒貝格σ代數中的集合不是勒貝格可測的，這樣的集合確實存在，故勒貝格σ代數嚴格包含於 $\mathbb {R}$ 的冪集。

例子

任何區間都是勒貝格可測的。閉區間 $[a,b]$ 、開區間 $(a,b)$ 的勒貝格測度都等於區間長度 $b-a$ 。
如果 A 是區間 [a, b] 和 [c, d]的笛卡爾積，則它是一個長方形，測度為它的面積 (b−a)(d−c)。
博雷爾集都是勒貝格可測的。反之不然，存在不是博雷爾集的勒貝格可測集。
可數集的勒貝格測度為0。特別是，有理數集的勒貝格測度為0，儘管有理數集是稠密的。
康托爾集是一個勒貝格測度為零的不可數集的例子。
假設決定性公理成立，則實數集的所有子集都是勒貝格可測的。假設選擇公理成立，則可以構造出勒貝格不可測的集合，例如維塔利集。決定性公理與選擇公理是不相容的。
奧斯古德曲線（Osgood curve）是平面簡單曲線，但具有大於0的勒貝格測度。龍形曲線是另一個例子。

性質

設集合 $A$ 與 $B$ 是在 $R n$ 上的集合。勒貝格測度有如下的性質：

如果 $A$ 是一列區間 $(I n)$ 的笛卡爾積 $\prod _{n}I_{n}$ ，則 $A$ 是勒貝格可測的，並且 $\lambda (A)=\prod _{n}\left|I_{n}\right|$ ，其中 $| I |$ 表示區間 $I$ 的長度。
如果 $A$ 是有限個或可數個兩兩互不相交的勒貝格可測集 $(E n)$ 的併集，則 $A$ 也是勒貝格可測的，並且 $\lambda \left(A\right)=\sum _{n}\lambda (E_{n})$ 。
如果 $A$ 是勒貝格可測的，那麼它相對於 $\mathbb {R} ^{n}$ 的補集也是可測的。
對於每個勒貝格可測集 $A$ ， $\lambda (A)\geq 0$ 。
如果 $A$ 與 $B$ 是勒貝格可測的，且 $A \subseteq B$ ，則 $\lambda (A)\leq \lambda (B)$ 。
可數多個勒貝格可測集的交集或者併集，仍然是勒貝格可測的。
$\mathbb {R} ^{n}$ 上的博雷爾集（即由開集經可數多次交、並、差運算得到的集合）都是勒貝格可測的。^[1]^[2]
勒貝格可測集「幾乎」是開集，也「幾乎」是閉集。具體來說， $E$ 是勒貝格可測集若且唯若對任意的 $\varepsilon >0$ 存在開集 $G$ 與閉集 $F$ 使得 $F\subset E\subset G$ 且 $\lambda (G\setminus F)<\varepsilon$ 。此性質曾用來定義勒貝格可測性。（見勒貝格測度的正則性定理）
勒貝格測度既是局部有限的，又是內正則的，所以是拉東測度。
非空開集的勒貝格測度嚴格大於0，所以勒貝格測度的支集是全空間 $\mathbb {R} ^{n}$ 。
如果 $A$ 是勒貝格零測集，即 $\lambda (A)=0$ ，則 $A$ 的任何一個子集也是勒貝格零測集。
如果 $A$ 是勒貝格可測的，且 $B = {x + k : x \in A}$ （即將 $A$ 平移 $k$ 個單位），則 $B$ 也是勒貝格可測的，並且 $\lambda (B)=\lambda (A)$ 。
如果 $A$ 是勒貝格可測的，且 $B = {kx : x \in A}$ （即將 $A$ 縮放 $k$ 倍， $k>0$ ），則 $B$ 也是勒貝格可測的，並且 $\lambda (B)=k^{n}\cdot \lambda (A)$ 。
更一般地，設 $T$ 是一個線性變換， $det(T)$ 為其行列式。如果 $A$ 是勒貝格可測的，則 $T (A)$ 也是勒貝格可測的，並且 $\lambda (T(A))=|\det(T)|\lambda (A)$ 。
設 $f$ 是一個從 $A$ 到 $\mathbb {R} ^{n}$ 上的連續單射函數。如果 $A$ 是勒貝格可測的，則 $f (A)$ 也是勒貝格可測的。

簡要地說， $\mathbb {R} ^{n}$ 的勒貝格可測子集組成一個包含所有區間的笛卡爾積的σ-代數，且 $λ$ 是其上唯一的完備的、平移不變的、滿足 $\lambda ([0,1]\times [0,1]\times \cdots \times [0,1])=1$ 的測度。

勒貝格測度是σ-有限測度。

零測集

$\mathbb {R} ^{n}$ 的子集 A 是零測集，如果對於任意 $\varepsilon >0$ ，A 都可以用可數多個盒（即 n 個區間的乘積）來覆蓋，且其總體積最多為 $\varepsilon$ 。所有可數集都是零測集。

如果 $\mathbb {R} ^{n}$ 的子集的豪斯多夫維數小於 $n$ ，那麼它是關於 $n$ 維勒貝格測度的零測集。在這裏，豪斯多夫維數是相對於 $\mathbb {R} ^{n}$ 上的歐幾里得度量（或任何與其利普希茨等價的度量）而言。另一方面，一個集合可能拓撲維數小於 $n$ ，但具有正的 $n$ 維勒貝格測度。一個這樣的例子是史密斯-沃爾泰拉-康托爾集，它的拓撲維數為0，但1維勒貝格測度為正數。

為了證明某個集合A是勒貝格可測的，我們通常嘗試尋找一個「較好」的集合B，與A 的對稱差是零測集，然後證明B可以用開集或閉集的可數交集和併集生成。

勒貝格測度的構造

勒貝格測度的現代構造基於外測度^[3]，並應用卡拉西奧多里擴張定理。

固定 $n\in \mathbb {N} .$ $\mathbb {R} ^{n}$ 中的盒子是形如 $B=\prod _{i=1}^{n}[a_{i},b_{i}]$ 的集合，其中 $b_{i}\geq a_{i}$ ，連乘號代表笛卡爾積。盒子的體積定義為 $\operatorname {vol} (B)=\prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})$