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內切圓

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三角形的角平分線會相交於內切圓的圓心

數學中,若一個二維平面上的多邊形的每條邊都能與其內部的一個圓形相切,該圓就是所謂的多邊形的內切圓,這時稱這個多邊形為圓外切多邊形。它亦是多邊形內部最大的圓形。內切圓的圓心被稱為該多邊形的內心

一個多邊形至多有一個內切圓,也就是說對於一個多邊形,它的內切圓,如果存在的話,是唯一的。並非所有的多邊形都有內切圓。三角形正多邊形一定有內切圓。擁有內切圓的四邊形被稱為圓外切四邊形

三角形的內切圓

任何三角形都有內切圓。這個內切圓的圓心稱為內心,一般標記為I,是三角形內角平分線的交點[1]。在三線坐標,內心是1:1:1。

性質

內切圓的半徑,當中表示三角形的面積,a、b、c為三角形的三個邊長。

以內切圓和三角形的三個切點為頂點的三角形內接三角形之一。的內切圓就是外接圓。而三線交於一點,它們的交點就是熱爾崗點(Gergonne point)。內切圓與九點圓相切,切點稱作費爾巴哈點(見九點圓)。

若以三角形的內切圓為反演圓進行反演,則三角形的三條邊和外接圓會分別變為半徑相等的四個圓(半徑都等於內切圓半徑的一半)。[2]

三角形的外接圓半徑R、內切圓半徑r 以及內外心間距OI 之間有如下關係:

[3]

直角三角形兩股和等於斜邊長加上該三角形內切圓直徑

由此性質再加上勾股定理,可推得:

直角座標系中,若頂點座標分別為,則內心的座標為:

[4]

四邊形的內切圓

不是所有的四邊形都有內切圓,擁有內切圓的四邊形稱為圓外切四邊形。凸四邊形ABCD有內切圓若且唯若兩對對邊之和相等:,此命題稱為皮托定理。圓外切四邊形的面積和內切圓半徑的關係為: ,其中s 為半周長。

同時擁有內切圓和外接圓的四邊形稱為雙心四邊形。這樣的四邊形有無限多個。若一個四邊形為雙心四邊形,那麼其內切圓在兩對對邊的切點的連線相互垂直。而只要在一個圓上選取兩條相互垂直的,並過相應的頂點做切線,就能得到一個雙心四邊形。

正多邊形的內切圓

正多邊形必然有內切圓,而且其內切圓的圓心和外接圓的圓心重合,都在正多邊形的中心。邊長為a 的正多邊形的內切圓半徑為:

其內切圓的面積為:

內切圓面積與正多邊形的面積之比為:

故此,當正多邊形的邊數趨向無窮時,

參考文獻

  1. ^ R.A.約翰遜,《近代歐氏幾何學》,單墫 譯,第158頁,上海教育出版社,ISBN 7-5320-6392-5
  2. ^ 《近代歐氏幾何學》,第163頁
  3. ^ 《近代歐氏幾何學》,第162頁
  4. ^ 平面向量教学与三角形内心. [2013-12-05]. (原始內容存檔於2020-08-07). 

參見