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共軛類

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數學上,特別是在群論中,的元素可以分割共軛類(英語:Conjugacy class);同一個共軛類的元素有很多共同的屬性。非交換群的共軛類有很多關於該群的結構的重要特徵。對於交換群,這個概念是平凡的,因為每個類就是一個單元素集合

在同一個共軛類上取常值的函數稱為類函數

定義

對於群 中的元素 稱為 關於 共軛。類似地,對元素 ,如果存在元素 使得 ,可以稱 共軛

對由可逆矩陣構成的一般線性群 ,共軛的元素(矩陣)稱為相似矩陣

共軛是一種等價關係,因此可以 分割等價類。(這表示群的每個元素屬於恰好一個共軛類,而類 相等當且僅當 共軛,否則不相交。)包含群 中元素 的等價類是

稱為 共軛類類數是不同共軛類的個數。同一個共軛類中的元素的相同。

例子

對稱群,由所有3個元素的6個置換組成,擁有三個共軛類:

  • 恆等 (abc -> abc)表示為(1)
  • 對換 (abc -> acb,abc -> bac,abc -> cba)表示為(23) (12) (13)
  • 三階輪換 (abc -> bca,abc -> cab)表示為(132) (123)

對稱群,由4個元素的全部24個置換組成,有5個共軛類:

  • 恆等
  • 對換
  • 三階輪換
  • 四階輪換
  • 雙對換

參看立方體的恰當轉動,它可以用體對角線的枚舉刻劃。

  • 矩陣,在同一個共軛類的矩陣稱為相似矩陣。

屬性

  • 單位元總是自成一類,也就是說
  • 可交換,則對於所有屬於成立;所以對於屬於成立;可見這個概念對於交換群不是很有用。
  • 的兩個元素屬於同一個共軛類(也即,若它們共軛),則它們有同樣的。更一般地講,每個關於的命題可以轉換成關於的一個命題,因為映射是一個自同構
  • 的一個元素位於中心當且僅當其共軛類只有一個元素,本身。更一般地講,若代表中心化子,也即,有所有滿足的元素組成的子群,則指數等於的共軛類中元素的個數。

共軛群作用

為群,對任意 ,定義 關於自身的群作用

在作用 上的軌道是其在群 中的共軛類。元素 穩定子群等於該元素的中心化子。

類似地,我們可以令 作用在 的所有子集構成的集合,有

又或者是作用在 子群構成的集合。

共軛類方程

為有限群,對 的任意元素 ,其共軛類中的元素可以與中心化子 陪集一一對應。因為同一陪集的任意兩元素 (存在 使得 )對 的共軛相同:

由於 上的軌道等於其共軛類,其穩定子群等於其中心化子,上述結論亦可以由軌道-穩定化子定理給出。

的共軛類的元素個數等於它的中心化子的指數 ,因而整除

進一步的有,對於任何群 ,從 的每個元素個數大於 的共軛類中取出一個元素來定義一個代表集 。則 是群的中心 以及 中所有元素的共軛類 互斥併集集。由此可得群論中重要的類方程

其中求和取遍對於每個 中的 。注意 的共軛類的元素個數。該方程經常用於獲得關於共軛類或者中心的大小的資訊。

例子

考慮一個有限的 p-群 (即元質數目為 的群,其中 是一個質數 )。我們將證明:每個有限p-群有非平凡的中心。

因為 的任意子群的指數必須整除 的次數,所以每個 等於 的一個冪 。類方程給出

由於 整除 必須整除 ,所以

子群和一般子集的共軛

更一般的來講,給定任意G子集SS不必是子群),我們定義一個G的子集TS的共軛,當且僅當存在某個g屬於G滿足T = gSg−1。我們可以定義Cl(S)為所有共軛於S的子集T的集合。

一個常用的定理是,給定任意子集S,N(S)(S正規化子)的指數等於Cl(S)的次數:

|Cl(S)| = [G : N(S)]

這是因為,如果gh屬於G,則gSg−1 = hSh−1當且僅當gh −1屬於N(S),換句話說,當且僅當gh屬於N(S)的同一個陪集

注意這個公式推廣了前面關於共軛類元素的個數的定理(S = {a}的特殊情況)。

上述定理在討論G的子群時尤其有用。子群可以由此分為等價類,兩個子群屬於同一類當且僅當它們共軛。共軛子群是同構的,但是同構子群未必共軛(例如,交換群可以有兩個不同的互相同構的子群,但是它們不可能共軛)。

作為群作用的共軛類

如果對於任意兩個G中的元素gx定義

g.x = gxg−1

則我們有了一個GG上的群作用。該作用的軌道就是共軛類,而給定元素的定點子群就是該元素的中心化子。

同樣,我們可以定義一個在G的所有子群或者所有子集的集合上的G的群作用如下

g.S = gSg−1

參看

參考