共軛類

數學上，特別是在群論中，群的元素可以分割成共軛類（英語：Conjugacy class）；同一個共軛類的元素有很多共同的屬性。非交換群的共軛類有很多關於該群的結構的重要特徵。對於交換群，這個概念是平凡的，因為每個類就是一個單元素集合。

在同一個共軛類上取常值的函數稱為類函數。

定義

對於群 $G$ 中的元素 $g$ 和 $n$ ， $gng^{-1}$ 稱為 $n$ 關於 $g$ 的共軛。類似地，對元素 $a$ 和 $b$ ，如果存在元素 $g$ 使得 $b=gag^{-1}$ ，可以稱 $a$ 和 $b$ 共軛。

對由可逆矩陣構成的一般線性群 $\mathrm {GL} (n)$ ，共軛的元素（矩陣）稱為相似矩陣。

共軛是一種等價關係，因此可以 $G$ 分割為等價類。（這表示群的每個元素屬於恰好一個共軛類，而類 $\mathrm {Cl} (a)$ 和 $\mathrm {Cl} (b)$ 相等當且僅當 $a$ 和 $b$ 共軛，否則不相交。）包含群 $G$ 中元素 $a$ 的等價類是

$\mathrm {Cl} (a)=\{gag^{-1}\mid g\in G\}$

稱為 $a$ 的共軛類。$G$ 的類數是不同共軛類的個數。同一個共軛類中的元素的階相同。

例子

對稱群$S_{3}$，由所有3個元素的6個置換組成，擁有三個共軛類：

• 恆等 (abc -> abc)表示為(1)
• 對換 (abc -> acb，abc -> bac，abc -> cba)表示為(23) (12) (13)
• 三階輪換 (abc -> bca，abc -> cab)表示為(132) (123)

對稱群$S_{4}$，由4個元素的全部24個置換組成，有5個共軛類：

• 恆等
• 對換
• 三階輪換
• 四階輪換
• 雙對換

參看立方體的恰當轉動，它可以用體對角線的枚舉刻劃。

• 在$n\times n$矩陣，在同一個共軛類的矩陣稱為相似矩陣。

屬性

• 單位元總是自成一類，也就是說$\mathrm {Cl} (e)=\{e\}$。

• 若$G$可交換，則$gag^{-1}=a$對於所有$a$和$g$屬於$G$成立；所以$\mathrm {Cl} (a)=\{a\}$對於$a$屬於$G$成立；可見這個概念對於交換群不是很有用。

• 若$G$的兩個元素$a$和$b$屬於同一個共軛類（也即，若它們共軛），則它們有同樣的階。更一般地講，每個關於$a$的命題可以轉換成關於$b=gag^{-1}$的一個命題，因為映射$\varphi (x)=gxg^{-1}$是一個$G$的自同構。

• $G$的一個元素$a$位於$G$的中心$\mathrm {Z} (G)$當且僅當其共軛類只有一個元素，$a$本身。更一般地講，若$\mathrm {C} _{G}(a)$代表$G$中$\{a\}$的中心化子，也即，有所有滿足$ga=ag$的元素$g$組成的子群，則指數$[G:\mathrm {C} _{G}(a)]$等於$a$的共軛類中元素的個數。

共軛群作用

令 $G$ 為群，對任意 $g,x\in G$ ，定義 $G$ 關於自身的群作用

$g\cdot x=gxg^{-1}$ 。

$x$ 在作用 $G$ 上的軌道是其在群 $G$ 中的共軛類。元素 $x$ 的穩定子群等於該元素的中心化子。

類似地，我們可以令 $G$ 作用在 $G$ 的所有子集構成的集合，有

$g\cdot S=gSg^{-1}=\{gsg^{-1}\mid s\in S\}$ 。

又或者是作用在 $G$ 的子群構成的集合。

共軛類方程

若 $G$ 為有限群，對 $G$ 的任意元素 $a$ ，其共軛類中的元素可以與中心化子 $C_{G}(a)$ 的陪集一一對應。因為同一陪集的任意兩元素 $b$ 和 $c$ （存在 $z\in C_{G}(a)$ 使得 $b=cz$ ）對 $a$ 的共軛相同：

$bab^{-1}=(cz)a(cz)^{-1}=czaz^{-1}c^{-1}=cazz^{-1}c^{-1}=cac^{-1}$ 。

由於 $a$ 在 $G$ 上的軌道等於其共軛類，其穩定子群等於其中心化子，上述結論亦可以由軌道-穩定化子定理給出。

$z$ 的共軛類的元素個數等於它的中心化子的指數 $[G:C_{G}(z)]$ ，因而整除 $G$ 的階。

進一步的有，對於任何群 $G$ ，從 $G$ 的每個元素個數大於 $1$ 的共軛類中取出一個元素來定義一個代表集 $S=\{x_{i}\}$ 。則 $G$ 是群的中心 $Z(G)$ 以及 $S$ 中所有元素的共軛類 $Cl(x_{i})$ 的不交併集。由此可得群論中重要的類方程：

$|G|=|Z(G)|+\sum _{i}[G:C_{G}(x_{i})]$

其中求和取遍對於每個 $S$ 中的 $x_{i}$ 的 $H_{i}=C_{G}(x_{i})$ 。注意 $[G:H_{i}]$ 是 $x_{i}$ 的共軛類的元素個數。該方程經常用於獲得關於共軛類或者中心的大小的信息。

例子

考慮一個有限的 p-群 $G$ （即元素數目為 $p^{n}$ 的群，其中 $p$ 是一個質數且 $n>0$ ）。我們將證明：每個有限p-群有非平凡的中心。

因為 $G$ 的任意子群的指數必須整除 $G$ 的次數，所以每個 $H_{i}$ 等於 $p$ 的一個冪 $p^{k_{i}}$ ， $k_{i}>0$ 。類方程給出

$p^{n}=|G|=|Z(G)|+\sum _{i}p^{k_{i}}$

由於 $p$ 整除 $\sum _{i}p^{k_{i}}$ 和 $|G|$ ， $p$ 必須整除 $|Z(G)|$ ，所以 $|Z(G)|>1$。

子群和一般子集的共軛

更一般的來講，給定任意G的子集S（S不必是子群），我們定義一個G的子集T為S的共軛，當且僅當存在某個g屬於G滿足T = gSg⁻¹。我們可以定義Cl(S)為所有共軛於S的子集T的集合。

一個常用的定理是，給定任意子集S，N(S)（S的正規化子）的指數等於Cl(S)的次數：

|Cl(S)| = [G : N(S)]

這是因為，如果g和h屬於G，則gSg⁻¹ = hSh⁻¹當且僅當gh ⁻¹屬於N(S)，換句話說，當且僅當g和h屬於N(S)的同一個陪集。

注意這個公式推廣了前面關於共軛類元素的個數的定理（S = {a}的特殊情況）。

上述定理在討論G的子群時尤其有用。子群可以由此分為等價類，兩個子群屬於同一類當且僅當它們共軛。共軛子群是同構的，但是同構子群未必共軛（例如，交換群可以有兩個不同的互相同構的子群，但是它們不可能共軛）。

作為群作用的共軛類

如果對於任意兩個G中的元素g和x定義

g.x = gxg⁻¹

則我們有了一個G在G上的群作用。該作用的軌道就是共軛類，而給定元素的定點子群就是該元素的中心化子。

同樣，我們可以定義一個在G的所有子群或者所有子集的集合上的G的群作用如下

g.S = gSg⁻¹。

參看

• 群
• 群作用
• 中心化子和正規化子

參考

• Herstein, I.N. Abstract Algebra, Wiley, ISBN 0-471-36879-2
• Dummit, David and Richard Foote. Abstract Algebra, Wiley, ISBN 0-471-43334-9
• Lang, Serge. Algebra, Springer, ISBN 0-387-95385-X