討論:線性微分方程

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本條目有內容譯自英語維基百科頁面「Linear differential equation」（原作者列於其歷史記錄頁）。

從微分方程條目中移進來的資料

{\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+A_{1}{\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}+\cdots +A_{n}y=0

，

它的解取決於以下的特徵方程：

F(z)=z^{n}+A_{1}z^{n-1}+\cdots +A_{n}=0

，

上式中 $z^{n}\,$ 取代了: ${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}\quad \quad (n=1,2,\cdots ,n)$ 。

y''''-2y'''+2y''-2y'+y=0

，

有以下特徵方程

z^{4}-2z^{3}+2z^{2}-2z+1=0

，

它有 $i,-i,1,1\,$ 四個解，解基為：

e^{ix},e^{-ix},e^{x},xe^{x}

，

這和以下實數解基相對應：

\cos x,\sin x,e^{x},xe^{x}

，

如果 $z\,$ （很可能不是實數）是 $F(z)\,$ 的根，且 $n\in \{0,1,\dots ,m-1\}\,$ （其中 $m\,$ 表示根z的重數），那麼 $y=x^{n}e^{zx}\,$ 是微分方程的一個解。這些方程組成了這個微分方程的基.

如果 $A^{i}\,$ 是實數，那麼我們更喜歡得到實數解。因為非實數 $z\,$ 值會引入共軛對, $y$ 的情況也類似;將原來各對替換為它們實值部分 $Re(y)$ 和虛值部分 $Im(y)$ 的線性組合.

復根的情況可以應用歐拉公式來解決：

例如：對於 $y''-4y'+5y=0\,$ .特徵方程是 $z^{2}-4z+5=0\,$ 有以下幾個根 $2+i$ and $2-i$ .因此，解基 $\{y_{1},y_{2}\}$ 為 $\{e^{(2+i)x},e^{(2-i)x}\}\,$ . y是根當且僅當 $y=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}\,$ ； $c_{1},c_{2}\in \mathbb {C}$ ，