讨论:线性微分方程

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本条目有内容译自英语维基百科页面“Linear differential equation”（原作者列于其历史记录页）。

从微分方程条目中移进来的资料

{\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+A_{1}{\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}+\cdots +A_{n}y=0

，

它的解取决于以下的特征方程：

F(z)=z^{n}+A_{1}z^{n-1}+\cdots +A_{n}=0

，

上式中 $z^{n}\,$ 取代了: ${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}\quad \quad (n=1,2,\cdots ,n)$ 。

y''''-2y'''+2y''-2y'+y=0

，

有以下特征方程

z^{4}-2z^{3}+2z^{2}-2z+1=0

，

它有 $i,-i,1,1\,$ 四个解，解基为：

e^{ix},e^{-ix},e^{x},xe^{x}

，

这和以下实数解基相对应：

\cos x,\sin x,e^{x},xe^{x}

，

如果 $z\,$ （很可能不是实数）是 $F(z)\,$ 的根，且 $n\in \{0,1,\dots ,m-1\}\,$ （其中 $m\,$ 表示根z的重数），那么 $y=x^{n}e^{zx}\,$ 是微分方程的一个解。这些方程组成了这个微分方程的基.

如果 $A^{i}\,$ 是实数，那么我们更喜欢得到实数解。因为非实数 $z\,$ 值会引入共轭对, $y$ 的情况也类似;将原来各对替换为它们实值部分 $Re(y)$ 和虚值部分 $Im(y)$ 的线性组合.

复根的情况可以应用欧拉公式来解决：

例如：对于 $y''-4y'+5y=0\,$ .特征方程是 $z^{2}-4z+5=0\,$ 有以下几个根 $2+i$ and $2-i$ .因此，解基 $\{y_{1},y_{2}\}$ 为 $\{e^{(2+i)x},e^{(2-i)x}\}\,$ . y是根当且仅当 $y=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}\,$ ； $c_{1},c_{2}\in \mathbb {C}$ ，