離散群
在數學中，離散群是配備了離散拓撲的群 G。帶有這種拓撲 G 成為了拓撲群。拓撲群 G 的離散子群是其相對拓撲為離散拓撲的子群 H。例如，整數集 Z 形成了實數集 R 的離散子群，但是有理數集 Q 不行。
任何群都可以給予離散拓撲。因為出自離散空間的所有映射都是連續的，離散群的拓撲同態完全就是底層群的群同態。因此，在群范疇和離散群范疇之間有一個同構，離散群因此同一於它們的底層(非拓撲)群。由於這個想法，術語離散群論被用來稱呼對沒有拓撲結構的群的研究，用來對比於拓撲群論或李群論。它在邏輯上和技術上被分為有限群論和無限群論。
在有些場合拓撲群或李群反自然的配備上離散拓撲是有用的。這可以在玻爾緊緻化理論和在李群的群上同調理論中找到實例。
性質
因為拓撲群是齊次的，你只需要查看一個單一的點就能確定這個群是否為離散的。特別是，拓撲群是離散的，當且僅當包含單位元的單元素集合是開集。
離散群是和零維李群同樣的東西(不可數離散群不是第二可數的，所以要求李群滿足這個公理的作者不把這些群認做李群)。離散群的單位元單元就是平凡子群而單元的群同構於這個群自身。
因為只有在有限集合上的豪斯多夫拓撲是離散拓撲，有限豪斯多夫拓撲群必然是離散群。可得出所有的豪斯多夫群的有限子群是離散群。
G 的離散子群 H 是餘緊緻(cocompact)的，如果有 G 的緊子集 K 使得 HK = G。
離散正規子群在覆蓋群和局部同構群的理論中扮演重要角色。連通群 G 的離散正規子群必然位於 G 的中心並因此是阿貝爾群。
其他性質:
- 所有離散群的子群都是離散群。
- 所有離散群的商群都是離散群。
- 有限個離散群的乘積是離散群。
- 離散群是緊群當且僅當它是有限的。
- 所有離散群都是局部緊群。
- 所有豪斯多夫群的離散子群都是閉合的。
- 所有緊緻豪斯多夫群的離散子群都是有限的。
例子
- 卷結群和壁紙群是歐幾里德平面的等距同構群的離散子群。壁紙群是餘緊緻的，但卷結群不是。
- 空間群是某維度的歐幾里德空間的等距同構群的離散子群。
- 結晶群通常意味著餘緊緻的、某個歐幾里德空間的等距同構的離散子群。但是有時結晶群可以是冪零或可解李群的餘緊緻離散子群。
- 所有三角群 T 是球面(在 T 是有限的時候)、歐幾里德平面(在 T 有有限指標的 Z + Z 子群的時候)或雙曲面的等距同構群的離散子群。
- 富克斯群通過定義是雙曲面的等距同構群的離散子群。
- 克萊因群通過定義是雙曲3-空間的等距同構群的離散子群。這包括準-富克斯群。
- 定向保持和作用在雙曲 3-空間的上半面模型上的克萊因群是李群 PSL(2,C) 的離散子群，它是雙曲 3-空間的上半面模型的定向保持等距同構的群。
- 在李群中的格是使得商群的哈爾測度為有限的離散子群。