离散群
在数学中，离散群是配备了离散拓扑的群 G。带有这种拓扑 G 成为了拓扑群。拓扑群 G 的离散子群是其相对拓扑为离散拓扑的子群 H。例如，整数集 Z 形成了实数集 R 的离散子群，但是有理数集 Q 不行。
任何群都可以给予离散拓扑。因为出自离散空间的所有映射都是连续的，离散群的拓扑同态完全就是底层群的群同态。因此，在群范畴和离散群范畴之间有一个同构，离散群因此同一于它们的底层(非拓扑)群。由于这个想法，术语离散群论被用来称呼对没有拓扑结构的群的研究，用来对比于拓扑群论或李群论。它在逻辑上和技术上被分为有限群论和无限群论。
在有些场合拓扑群或李群反自然的配备上离散拓扑是有用的。这可以在玻尔紧致化理论和在李群的群上同调理论中找到实例。
性质
因为拓扑群是齐次的，你只需要查看一个单一的点就能确定这个群是否为离散的。特别是，拓扑群是离散的，当且仅当包含单位元的单元素集合是开集。
离散群是和零维李群同样的东西(不可数离散群不是第二可数的，所以要求李群满足这个公理的作者不把这些群认做李群)。离散群的单位元单元就是平凡子群而单元的群同构于这个群自身。
因为只有在有限集合上的豪斯多夫拓扑是离散拓扑，有限豪斯多夫拓扑群必然是离散群。可得出所有的豪斯多夫群的有限子群是离散群。
G 的离散子群 H 是馀紧致(cocompact)的，如果有 G 的紧子集 K 使得 HK = G。
离散正规子群在覆盖群和局部同构群的理论中扮演重要角色。连通群 G 的离散正规子群必然位于 G 的中心并因此是阿贝尔群。
其他性质:
- 所有离散群的子群都是离散群。
- 所有离散群的商群都是离散群。
- 有限个离散群的乘积是离散群。
- 离散群是紧群当且仅当它是有限的。
- 所有离散群都是局部紧群。
- 所有豪斯多夫群的离散子群都是闭合的。
- 所有紧致豪斯多夫群的离散子群都是有限的。
例子
- 卷结群和壁纸群是欧几里德平面的等距同构群的离散子群。壁纸群是馀紧致的，但卷结群不是。
- 空间群是某维度的欧几里德空间的等距同构群的离散子群。
- 结晶群通常意味着馀紧致的、某个欧几里德空间的等距同构的离散子群。但是有时结晶群可以是幂零或可解李群的馀紧致离散子群。
- 所有三角群 T 是球面(在 T 是有限的时候)、欧几里德平面(在 T 有有限指标的 Z + Z 子群的时候)或双曲面的等距同构群的离散子群。
- 富克斯群通过定义是双曲面的等距同构群的离散子群。
- 克莱因群通过定义是双曲3-空间的等距同构群的离散子群。这包括准-富克斯群。
- 定向保持和作用在双曲 3-空间的上半面模型上的克莱因群是李群 PSL(2,C) 的离散子群，它是双曲 3-空间的上半面模型的定向保持等距同构的群。
- 在李群中的格是使得商群的哈尔测度为有限的离散子群。