阿貝爾求和公式是由尼爾斯·阿貝爾所發現,廣泛應用於數論之中,以便用來計算級數。
恆等式
設為一列由實數或複數,是一個連續可導函數,則
其中是部分和
而且這正是對黎曼-斯蒂爾傑斯積分運用分部積分法所得到的。
更一般情況,有
例
歐拉-馬斯刻若尼常數
設,,則,恆等式變為
因此是一種可以表示歐拉-馬斯刻若尼常數的方式。
黎曼ζ函數的表示
設,,則,故
公式在時成立,並且可以用來推導狄利克雷定理,其斷言,若以表示黎曼ζ函數,則在s = 1處有留數為1的簡單極點。
黎曼ζ函數的倒數
設,為默比烏斯函數,且,則,故為梅滕斯函數,而恆等式變成
上式在時成立。
參見
參考文獻