在形式邏輯中,邏輯運算符或邏輯聯結詞把語句連接成更複雜的複雜語句。例如,假設有兩個邏輯命題,分別是「正在下雨」和「我在屋裡」,我們可以將它們組成複雜命題「正在下雨,並且我在屋裡」或「沒有正在下雨」或「如果正在下雨,那麼我在屋裡」。一個將兩個語句組成的新的語句或命題叫做複合語句或複合命題。又稱邏輯操作符(Logical Operators)。
基本運算符
基本的操作符有:「非」(¬)、「與」(∧)、「或」(∨)、「條件」(→)以及「雙條件」(↔)。「非」是一個一元操作符,它只操作一項(¬ P)。剩下的是二元操作符,操作兩項來組成複雜語句(P ∧ Q, P ∨ Q, P → Q, P ↔ Q)。
注意,符號「與」(∧)和交集(∩),「或」(∨)和併集(∪)的相似性。這不是巧合:交集的定義使用「與」,併集的定義是用「或」。
這些連接符的真值表:
P |
Q |
¬P |
P ∧ Q |
P ∨ Q |
P → Q |
P ↔ Q
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T |
T |
F |
T |
T |
T |
T
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T |
F |
F |
F |
T |
F |
F
|
F |
T |
T |
F |
T |
T |
F
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F |
F |
T |
F |
F |
T |
T
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為了減少需要的括號的數量,有以下的優先規則:¬高於∧,∧高於∨,∨高於→。例如,P ∨ Q ∧ ¬ R → S是 (P ∨ (Q ∧ (¬ R)) → S的簡便寫法。
二元邏輯聯結詞表
下面是在輸入P和Q上的16個二元布林函數。
永假
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符號
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等價公式
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真值表
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文氏圖
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P ¬P
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永真
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符號
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等價公式
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真值表
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文氏圖
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P ¬P
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合取
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符號
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等價公式
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真值表
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文氏圖
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P Q P & Q P · Q P AND Q
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P ¬Q ¬P Q ¬P ¬Q
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與非
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符號
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等價公式
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真值表
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文氏圖
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P ↑ Q P | Q P NAND Q
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P → ¬Q ¬P ← Q ¬P ∨ ¬Q
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非蘊涵
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符號
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等價公式
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真值表
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文氏圖
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P Q P Q
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P & ¬Q ¬P ↓ Q ¬P ¬Q
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蘊涵
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符號
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等價公式
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真值表
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文氏圖
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P → Q P Q
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P ↑ ¬Q ¬P ∨ Q ¬P ← ¬Q
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命題P
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符號
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等價公式
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真值表
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文氏圖
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P
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非P
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符號
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等價公式
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真值表
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文氏圖
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¬P ~P
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反非蘊涵
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符號
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等價公式
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真值表
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文氏圖
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P Q P Q
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P ↓ ¬Q ¬P & Q ¬P ¬Q
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反蘊涵
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符號
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等價公式
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真值表
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文氏圖
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P Q P Q
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P ∨ ¬Q ¬P ↑ Q ¬P → ¬Q
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命題Q
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符號
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等價公式
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真值表
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文氏圖
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Q
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非Q
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符號
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等價公式
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真值表
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文氏圖
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¬Q ~Q
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異或
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符號
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等價公式
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真值表
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文氏圖
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P Q P Q P Q P XOR Q
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P ↔ ¬Q ¬P ↔ Q ¬P ¬Q
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雙條件
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符號
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等價公式
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真值表
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文氏圖
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P ↔ Q P ≡ Q P XNOR Q P IFF Q
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P ¬Q ¬P Q ¬P ↔ ¬Q
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析取
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符號
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等價公式
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真值表
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文氏圖
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P ∨ Q P ∨ Q P OR Q
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P ¬Q ¬P → Q ¬P ↑ ¬Q
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或非
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符號
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等價公式
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真值表
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文氏圖
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P ↓ Q P NOR Q
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P ¬Q ¬P Q ¬P ∧ ¬Q
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圖示
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- 恆真()
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- 與非()
- 反蘊涵()
- 蘊涵()
- 或()
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- 非()
- 異或()
- 雙條件()
- 命題
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- 或非()
- 非蘊涵()
- 反非蘊涵()
- 與()
|
- 恆假()
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