立方數

第$n$個立方數指可以寫成$n^{3}$的數，當中$n$必為整數。立方數是邊長$n$的立方體的體積。作為算術用語的「立方」，表示任何數$n$的三次冪，可用³（Unicode字元179）來表示。

和平方數不同，立方數可存在負數。

若將立方數概念擴展到有理數，則兩個立方數的比仍然是立方數，例如， (2 × 2 × 2) / (3 × 3 × 3) = 8/27 = 2/3×2/3×2/3。

若一個整數沒有除了 1 之外的立方數為其因數，則稱其為無立方數因數的數。

首十二個立方數 A000578為：1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, ...（第零個是0）

雖然形狀不同，每個立方數第$n$個立方數同時都是第$n$個六角錐數，即首$n$個中心六邊形數之和。

立方數和

首$n$個正立方數之和為$\left[{\frac {n(n+1)}{2}}\right]^{2}$，即第$n$個三角形數的平方

每個整數均可表示成9個或以下的正立方數之和。（華林問題）

1939年，狄克森證明只有23和239需要用9個正立方數的和來表示。

亞瑟·韋伊費列治證明只有15個整數須用8個：15, 22, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 231, 238, 303, 364, 420, 428, 454 （ A018889）

的士數和士的數都指最小能表示成兩個立方數之和的數，但的士數的必須為正數，士的數則無此限。（見1729）

只有一組連續三個立方數之和亦是立方數，就是3, 4, 5的立方，其和等於6的立方。

在十進制，除了1之外，僅有4個的正整數其數字立方之和等同它本身，它們為153, 370, 371, 407，他們是$n=3$的自戀數。這4個三位數，亦可視為將它的數字分成三份，每份的立方之和，相似性質的整數有無限個，如165033, 221859, 336700等（ A056733）。

性質

• 除了0以外，立方數不可能是普洛尼克數。
• 除了0以外，立方數也不可能是連續若干個（至少兩個）數的積。
• 除了0，1，8以外，立方數不可能是費波那契數。
• 除了1以外，立方數也不可能是盧卡斯數。
• 除了0，1以外，立方數不可能是佩爾數。
• 除了0，1以外，立方數不可能是三角形數、五角數等多邊形數。
• 除了1以外，立方數不可能是中心正方形數、中心五邊形數等中心多邊形數。
• 除了1，8以外，立方數也不可能是烏拉姆數列出現的數。
• 除了1，226981（61的立方）以外，立方數不可能是星數。
• 除了1以外，立方數在楊輝三角形只出現二次。
• 除了0000和9999以外，立方數末4四位數不可能相同
• 立方數不可能是楔形數、半質數。
• 0以外的立方數每一位數數字相加之和，不停重複地相加到剩一位數時必定是 1, 8, 9。
• 是否在相繼立方數之間存在一個素數這一命題，對1000000000000以內的數目是正確的。
• 立方數是模任何整數的三次剩餘；另外，如果某個整數是模任何整數的三次剩餘，那麼它一定是立方數。
• 立方數的正因數個數一定是3的倍數加1。

涉及立方數和的問題

$x^{3}+y^{3}+z^{3}=k$的整數解

主條目：三立方數和

1. 方程$x^{3}+y^{3}+z^{3}=3$除了有4組解$(1,1,1),(4,4,-5),(4,-5,4),(-5,4,4)$以外，是否還有其它整數解？
2. 方程$x^{3}+y^{3}+z^{3}=33$有整數解$(8866128975287528,-8778405442862239,-2736111468807040)$
3. 方程$x^{3}+y^{3}+z^{3}=42$有整數解$(-80538738812075974,80435758145817515,12602123297335631)$
4. 方程$x^{3}+y^{3}+z^{3}=114$是否有整數解？

其他

• 立方質數的定義為${\frac {x^{3}-y^{3}}{x-y}}$，其中$x=y+1$或$x=y+2$。

參見

• 平方數
• 四次方數
• 五次方數

外部連結

• http://mathworld.wolfram.com/CubicNumber.html （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）