立方数

第$n$个立方数指可以写成$n^{3}$的数，当中$n$必为整数。立方数是边长$n$的立方体的体积。作为算术用语的“立方”，表示任何数$n$的三次幂，可用³（Unicode字元179）来表示。

和平方数不同，立方数可存在负数。

若将立方数概念扩展到有理数，则两个立方数的比仍然是立方数，例如， (2 × 2 × 2) / (3 × 3 × 3) = 8/27 = 2/3×2/3×2/3。

若一个整数没有除了 1 之外的立方数为其因数，则称其为无立方数因数的数。

首十二个立方数 A000578为：1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, ...（第零个是0）

虽然形状不同，每个立方数第$n$个立方数同时都是第$n$个六角锥数，即首$n$个中心六边形数之和。

立方数和

首$n$个正立方数之和为$\left[{\frac {n(n+1)}{2}}\right]^{2}$，即第$n$个三角形数的平方

每个整数均可表示成9个或以下的正立方数之和。（华林问题）

1939年，狄克森证明只有23和239需要用9个正立方数的和来表示。

亚瑟·韦伊费列治证明只有15个整数须用8个：15, 22, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 231, 238, 303, 364, 420, 428, 454 （ A018889）

的士数和士的数都指最小能表示成两个立方数之和的数，但的士数的必须为正数，士的数则无此限。（见1729）

只有一组连续三个立方数之和亦是立方数，就是3, 4, 5的立方，其和等于6的立方。

在十进制，除了1之外，仅有4个的正整数其数字立方之和等同它本身，它们为153, 370, 371, 407，他们是$n=3$的自恋数。这4个三位数，亦可视为将它的数字分成三份，每份的立方之和，相似性质的整数有无限个，如165033, 221859, 336700等（ A056733）。

性质

• 除了0以外，立方数不可能是普洛尼克数。
• 除了0以外，立方数也不可能是连续若干个（至少两个）数的积。
• 除了0，1，8以外，立方数不可能是费波那契数。
• 除了1以外，立方数也不可能是卢卡斯数。
• 除了0，1以外，立方数不可能是佩尔数。
• 除了0，1以外，立方数不可能是三角形数、五角数等多边形数。
• 除了1以外，立方数不可能是中心正方形数、中心五边形数等中心多边形数。
• 除了1，8以外，立方数也不可能是乌拉姆数列出现的数。
• 除了1，226981（61的立方）以外，立方数不可能是星数。
• 除了1以外，立方数在杨辉三角形只出现二次。
• 除了0000和9999以外，立方数末4四位数不可能相同
• 立方数不可能是楔形数、半质数。
• 0以外的立方数每一位数数字相加之和，不停重复地相加到剩一位数时必定是 1, 8, 9。
• 是否在相继立方数之间存在一个素数这一命题，对1000000000000以内的数目是正确的。
• 立方数是模任何整数的三次剩馀；另外，如果某个整数是模任何整数的三次剩馀，那么它一定是立方数。
• 立方数的正因数个数一定是3的倍数加1。

涉及立方数和的问题

$x^{3}+y^{3}+z^{3}=k$的整数解

主条目：三立方数和

1. 方程$x^{3}+y^{3}+z^{3}=3$除了有4组解$(1,1,1),(4,4,-5),(4,-5,4),(-5,4,4)$以外，是否还有其它整数解？
2. 方程$x^{3}+y^{3}+z^{3}=33$有整数解$(8866128975287528,-8778405442862239,-2736111468807040)$
3. 方程$x^{3}+y^{3}+z^{3}=42$有整数解$(-80538738812075974,80435758145817515,12602123297335631)$
4. 方程$x^{3}+y^{3}+z^{3}=114$是否有整数解？

其他

• 立方质数的定义为${\frac {x^{3}-y^{3}}{x-y}}$，其中$x=y+1$或$x=y+2$。

参见

• 平方数
• 四次方数
• 五次方数

外部链接

• http://mathworld.wolfram.com/CubicNumber.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）