狄利克雷摺積
在算術函數集上,可以定義一種二元運算,使得取這種運算為乘法,取普通函數加法為加法,使得算術函數集為一個交換環。其中一種這樣的運算便是狄利克雷摺積。它和一般的卷積有不少相類之處。
對於算術函數,定義其狄利克雷摺積。
運算
的值如下:
- 對於,
默比烏斯函數μ的逆函數為(一般意義上的)1,即對於,。這是默比烏斯反演公式的原理。
狄利克雷摺積得名於數學家約翰·彼得·古斯塔夫·勒熱納·狄利克雷。1857年約瑟夫·劉維爾曾發表了許多包含這個運算的恆等式。將它視為二元運算這個觀點由埃里克·坦普爾·貝爾和M.奇波拉1915年提出。
導數
若定義的「導數」,可以發現這個運算和連續實函數的導數有不少相似的地方:
級數
對於算術函數,定義其狄利克雷級數
對於一些算術函數的狄利克雷級數,它們的積,跟那些算術函數的狄利克雷摺積的狄利克雷級數是相等的:
這跟卷積定理很相似。
定義的貝爾級數
也有類似的關係:
參考
- Introduction to Analytic Number theory, Tom M. Apostol
- http://eom.springer.de/D/d130150.htm (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)