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正弦-戈爾登方程

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鐘形孤立子

正弦-戈爾登方程是十九世紀發現的一種偏微分方程:

來自下面的拉量

由於正弦-戈爾登方程有多種孤立子解而倍受矚目。

名字是物理家熟悉的克萊因-戈爾登方程(Klein-Gordon)的雙關語。[1]

孤立子解

利用分離變數法可得正弦-戈爾登方程的多種孤立子解。[2]

扭型孤立子

Sine-Gordon kink soliton plot1
Sine-Gordon kink soliton plot2

鍾型孤立子

正弦-戈爾登方程有如下孤立子解:

其中

順時針孤立子
反時針孤立子

雙孤立子解

Sine-Gordon colliding soltons plot1
Sine-Gordon colliding soltons plot2
Sine-Gordon bright & dark solitons plot1
& dark solitons plot2
扭型與反扭型碰撞
扭型-扭型碰撞
駐波呼吸子
大振幅行波呼吸子
小振幅呼吸子

三孤立子解

扭型行波呼吸子與駐波呼吸子碰撞
反扭型行波呼吸子與駐波波呼吸子碰撞

呼吸子解

正弦-戈爾登方程的呼吸子解

Sine-Gordon breather plot1
Sine-Gordon breather plot2

幾何解釋

三維歐幾里德空間的負常曲率曲面

根據陳省身的研究,正弦-戈爾登方程有一個幾何解釋:三維歐幾里德空間的負常曲率曲面(偽球面)。[3]

正弦-戈爾登方程是:[4]

戶田場論英語Toda field theory有關。[5]

量子場論

正弦-戈爾登是Thirring模特英語Thirring modelS對偶

半經典量子化:[6]

參見

參考文獻

  1. ^ Rajaraman, R. Solitons and instantons : an introduction to solitons and instantons in quantum field theory. Amsterdam https://www.worldcat.org/oclc/17480018. (1987 [printing]). ISBN 0-444-87047-4. OCLC 17480018.  缺少或|title=為空 (幫助)
  2. ^ Inna Shingareva Carlos Lizarraga Celaya, Solving Nonlinear Partial Differential Equations with Maple and Mathematica, p86-94,Springer
  3. ^ 陳省身 Geometrical interpretation of the sinh-Gordon equation。annals Polonici Mathematici XXXIX 1981
  4. ^ Poli︠a︡nin, A. D. (Andreĭ Dmitrievich). Handbook of nonlinear partial differential equations. 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press https://www.worldcat.org/oclc/751520047. 2012. ISBN 978-1-4200-8723-9. OCLC 751520047.  缺少或|title=為空 (幫助)
  5. ^ Xie, Yuanxi; Tang, Jiashi. A unified method for solving sinh-Gordon-type equations. Il Nuovo Cimento B. 2006-05-10, 121 (2): 115–120. ISSN 0369-3554. doi:10.1393/ncb/i2005-10164-6. 
  6. ^ Faddeev, L.D.; Korepin, V.E. Quantum theory of solitons. Physics Reports. 1978-06, 42 (1): 1–87 [2020-02-03]. doi:10.1016/0370-1573(78)90058-3. (原始內容存檔於2021-03-08) (英語). 

閱讀

  • Bour E (1862). "Théorie de la déformation des surfaces"頁面存檔備份,存於網際網路檔案館). J. Ecole Imperiale Polytechnique. 19: 1–48.
  • Rajaraman, R. (1989). Solitons and Instantons: An Introduction to Solitons and Instantons in Quantum Field Theory. North-Holland Personal Library. 15. North-Holland. pp. 34–45. ISBN 978-0-444-87047-6.
  • Polyanin, Andrei D.; Valentin F. Zaitsev (2004). Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations. Chapman & Hall/CRC Press. pp. 470–492. ISBN 978-1-58488-355-5.
  • Dodd, Roger K.; J. C. Eilbeck, J. D. Gibbon, H. C. Morris (1982). Solitons and Nonlinear Wave Equations. London: Academic Press. ISBN 978-0-12-219122-0.
  • Georgiev DD, Papaioanou SN, Glazebrook JF (2004). "Neuronic system inside neurons: molecular biology and biophysics of neuronal microtubules". Biomedical Reviews 15: 67–75.
  • Georgiev DD, Papaioanou SN, Glazebrook JF (2007). "Solitonic effects of the local electromagnetic field on neuronal microtubules". Neuroquantology 5 (3): 276–291.