指數積分

E₁函數（頂）和Ei函數（底）。

在數學中，指數積分是函數的一種，它不能表示為初等函數。

定義

對於實數x，指數積分Ei(x)可以定義為：

${\mbox{Ei}}(x)=\int _{-\infty }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}\,\mathrm {d} t.\,$

其中$e^{t}$為指數函數。以上的定義可以用於正數x，但這個積分必須用柯西主值的概念來理解。

對於自變量是複數的情形，這個定義就變得模稜兩可了。為了避免歧義，我們使用以下的記法：

${\rm {E}}_{1}(z)=\int _{z}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,\mathrm {d} t,\qquad |{\rm {Arg}}(z)|<\pi .$

當自變量的實數部分為正時，可以轉換為：

${\rm {E}}_{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-tz}}{t}}\,\mathrm {d} t,\qquad \Re (z)\geq 0.$

Ei與E₁有以下關係：

${\rm {Ei}}(-x\pm {\rm {i}}0)=-{\rm {E}}_{1}(x)\mp {\rm {i}}\pi ,\quad ~~~~~~~~(x>0)$

$-{\rm {Ei}}(x)={\frac {1}{2}}{\rm {E}}_{1}(-x+{\rm {i}}0)+{\frac {1}{2}}{\rm {E}}_{1}(-x-{\rm {i}}0),\qquad ~~~~~~~~(x>0)~.$

性質

收斂級數

指數積分可以用以下的收斂級數來表示：

${\mbox{Ei}}(x)=\gamma +\ln x+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k\;k!}}\,,~~~~~x>0$

$E_{1}(z)=-\gamma -\ln z+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}z^{k}}{k\;k!}}\,,~~~~~~~~{\rm {Re}}(z)>0$

其中$~\gamma \approx 0.5772156649015328606...~$是歐拉-馬歇羅尼常數。這個級數在自變量為任何複數時都是收斂的，但Ei的定義則需要$~x\!>\!0~$。

漸近（發散）級數

截斷和中取$~N~$項時，漸近展開式的相對誤差

自變量的值較大時，用以上的收斂級數來計算指數積分是困難的。在這種情況下，我們可以使用發散（或漸近）級數：

$E_{1}(z)={\frac {\exp(-z)}{z}}\left[\sum _{n=0}^{N-1}{\frac {n!}{(-z)^{n}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {N!}{z^{N}}}\right)\right]$

這個截斷和可以用來計算$~{\rm {Re}}(z)\!\gg \!1~$時函數的值。級數中的項數越多，自變量的實數部分就應該越大。

圖中描述了以上估計的相對誤差。

指數和對數的表現

$~E_{1}~$在自變量較大時的表現類似指數函數，自變量較小時類似對數函數。$~E_{1}~$是位於以下兩個函數之間的：

${\frac {\exp(-x)}{2}}\!~\ln \!\left(1+{\frac {2}{x}}\right)<E_{1}(x)<\exp(-x)\!~\ln \!\left(1+{\frac {1}{x}}\right)~~~~~~~~x\!>\!0$

這個不等式的左端在圖中用藍色曲線來表示，中間的黑色曲線是$~{\rm {E}}_{1}(x)~$，不等式的右端用紅色曲線來表示。

與其它函數的關係

指數積分與對數積分li(x)有密切的關係：

li(x) = Ei (ln (x))    對於所有正實數x ≠ 1。

另外一個有密切關係的函數，具有不同的積分限：

${\rm {E}}_{1}(x)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-tx}}{t}}\,\mathrm {d} t=\int _{x}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,\mathrm {d} t.$

這個函數可以視為把指數積分延伸到負數：

${\rm {Ei}}(-x)=-{\rm {E}}_{1}(x).\,$

我們可以把兩個函數都用整函數來表示：

${\rm {Ein}}(x)=\int _{0}^{x}(1-e^{-t})\,{\frac {\mathrm {d} t}{t}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{k\;k!}}.$

利用這個函數，我們可以用對數來定義：

${\rm {E}}_{1}(z)\,=\,-\gamma -\ln z+{\rm {Ein}}(z),~~~~~~|{\rm {Arg}}(z)|<\pi ~$

以及

${\rm {Ei}}(x)\,=\,\gamma +\ln x-{\rm {Ein}}(-x),~~~~~~x>0.$

指數積分還可以推廣為：

${\rm {E}}_{n}(x)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-xt}}{t^{n}}}\,\mathrm {d} t,$

它是不完全伽瑪函數的一個特例：

${\rm {E}}_{n}(x)=x^{n-1}\Gamma (1-n,x).\,$

這個推廣的形式有時成為Misra函數$\varphi _{m}(x)$，定義為：

$\varphi _{m}(x)={\rm {E}}_{-m}(x).\,$

導數

函數$~{\rm {E}}_{n}~$與$~{\rm {E}}_{1}~$的導數有以下簡單的關係：

${{\rm {E}}_{n}}'(z){n-1}(z),~~~~~~~~(|{\rm {Arg}}(z)|<\pi ,~~~n>0)$

然而，這裡假設了$~n~$是整數；複數$~n~$的推廣還沒有在文獻中報導，雖然這種推廣是有可能的。在 y=2^x的圖形中，其導函數在任意x值所對應的y值為原函數的0.693倍。

複數變數指數積分

${\rm {E}}_{1}({\rm {i}}\!~x)$ versus $~x~$, real part(black) and imaginary part (red).

從以下的表示法中

${\rm {E}}_{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {\exp(-zt)}{t}}\,{\rm {d}}t,~~~~~~({\rm {Re}}(z)\geq 0)$

可以看出指數積分與正弦積分（Si）和餘弦積分（Ci）之間的關係：

${\rm {E}}_{1}({\rm {i}}\!~x)=-{\frac {\pi }{2}}+{\rm {Si}}(x)-{\rm {i}}\cdot {\rm {Ci}}(x),~~~~~~~~~(x>0)$

圖中的黑色和紅色曲線分別描述了$~{\rm {E}}_{1}(x)~$的實數和虛數部分。

參考文獻

• Press, William H. et al. Numerical Recipes (FORTRAN). Cambridge University Press, New York: 1989.
• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Chapter 5) （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

• R. D. Misra, Proc. Cambridge Phil. Soc. 36, 173 (1940)
• S. Chandrasekhar, Radiative transfer, reprinted 1960, Dover

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. Exponential Integral. MathWorld. 
• 埃里克·韋斯坦因. En-Function. MathWorld. 
• Ei的公式和恆等式 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）