指数积分

E₁函数（顶）和Ei函数（底）。

在数学中，指数积分是函数的一种，它不能表示为初等函数。

定义

对于实数x，指数积分Ei(x)可以定义为：

${\mbox{Ei}}(x)=\int _{-\infty }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}\,\mathrm {d} t.\,$

其中$e^{t}$为指数函数。以上的定义可以用于正数x，但这个积分必须用柯西主值的概念来理解。

对于自变量是复数的情形，这个定义就变得模棱两可了。为了避免歧义，我们使用以下的记法：

${\rm {E}}_{1}(z)=\int _{z}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,\mathrm {d} t,\qquad |{\rm {Arg}}(z)|<\pi .$

当自变量的实数部分为正时，可以转换为：

${\rm {E}}_{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-tz}}{t}}\,\mathrm {d} t,\qquad \Re (z)\geq 0.$

Ei与E₁有以下关系：

${\rm {Ei}}(-x\pm {\rm {i}}0)=-{\rm {E}}_{1}(x)\mp {\rm {i}}\pi ,\quad ~~~~~~~~(x>0)$

$-{\rm {Ei}}(x)={\frac {1}{2}}{\rm {E}}_{1}(-x+{\rm {i}}0)+{\frac {1}{2}}{\rm {E}}_{1}(-x-{\rm {i}}0),\qquad ~~~~~~~~(x>0)~.$

性质

收敛级数

指数积分可以用以下的收敛级数来表示：

${\mbox{Ei}}(x)=\gamma +\ln x+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k\;k!}}\,,~~~~~x>0$

$E_{1}(z)=-\gamma -\ln z+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}z^{k}}{k\;k!}}\,,~~~~~~~~{\rm {Re}}(z)>0$

其中$~\gamma \approx 0.5772156649015328606...~$是欧拉-马歇罗尼常数。这个级数在自变量为任何复数时都是收敛的，但Ei的定义则需要$~x\!>\!0~$。

渐近（发散）级数

截断和中取$~N~$项时，渐近展开式的相对误差

自变量的值较大时，用以上的收敛级数来计算指数积分是困难的。在这种情况下，我们可以使用发散（或渐近）级数：

$E_{1}(z)={\frac {\exp(-z)}{z}}\left[\sum _{n=0}^{N-1}{\frac {n!}{(-z)^{n}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {N!}{z^{N}}}\right)\right]$

这个截断和可以用来计算$~{\rm {Re}}(z)\!\gg \!1~$时函数的值。级数中的项数越多，自变量的实数部分就应该越大。

图中描述了以上估计的相对误差。

指数和对数的表现

$~E_{1}~$在自变量较大时的表现类似指数函数，自变量较小时类似对数函数。$~E_{1}~$是位于以下两个函数之间的：

${\frac {\exp(-x)}{2}}\!~\ln \!\left(1+{\frac {2}{x}}\right)<E_{1}(x)<\exp(-x)\!~\ln \!\left(1+{\frac {1}{x}}\right)~~~~~~~~x\!>\!0$

这个不等式的左端在图中用蓝色曲线来表示，中间的黑色曲线是$~{\rm {E}}_{1}(x)~$，不等式的右端用红色曲线来表示。

与其它函数的关系

指数积分与对数积分li(x)有密切的关系：

li(x) = Ei (ln (x))    对于所有正实数x ≠ 1。

另外一个有密切关系的函数，具有不同的积分限：

${\rm {E}}_{1}(x)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-tx}}{t}}\,\mathrm {d} t=\int _{x}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,\mathrm {d} t.$

这个函数可以视为把指数积分延伸到负数：

${\rm {Ei}}(-x)=-{\rm {E}}_{1}(x).\,$

我们可以把两个函数都用整函数来表示：

${\rm {Ein}}(x)=\int _{0}^{x}(1-e^{-t})\,{\frac {\mathrm {d} t}{t}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{k\;k!}}.$

利用这个函数，我们可以用对数来定义：

${\rm {E}}_{1}(z)\,=\,-\gamma -\ln z+{\rm {Ein}}(z),~~~~~~|{\rm {Arg}}(z)|<\pi ~$

以及

${\rm {Ei}}(x)\,=\,\gamma +\ln x-{\rm {Ein}}(-x),~~~~~~x>0.$

指数积分还可以推广为：

${\rm {E}}_{n}(x)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-xt}}{t^{n}}}\,\mathrm {d} t,$

它是不完全伽玛函数的一个特例：

${\rm {E}}_{n}(x)=x^{n-1}\Gamma (1-n,x).\,$

这个推广的形式有时成为Misra函数$\varphi _{m}(x)$，定义为：

$\varphi _{m}(x)={\rm {E}}_{-m}(x).\,$

导数

函数$~{\rm {E}}_{n}~$与$~{\rm {E}}_{1}~$的导数有以下简单的关系：

${{\rm {E}}_{n}}'(z){n-1}(z),~~~~~~~~(|{\rm {Arg}}(z)|<\pi ,~~~n>0)$

然而，这里假设了$~n~$是整数；复数$~n~$的推广还没有在文献中报导，虽然这种推广是有可能的。在 y=2^x的图形中，其导函数在任意x值所对应的y值为原函数的0.693倍。

复数变量指数积分

${\rm {E}}_{1}({\rm {i}}\!~x)$ versus $~x~$, real part(black) and imaginary part (red).

从以下的表示法中

${\rm {E}}_{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {\exp(-zt)}{t}}\,{\rm {d}}t,~~~~~~({\rm {Re}}(z)\geq 0)$

可以看出指数积分与正弦积分（Si）和余弦积分（Ci）之间的关系：

${\rm {E}}_{1}({\rm {i}}\!~x)=-{\frac {\pi }{2}}+{\rm {Si}}(x)-{\rm {i}}\cdot {\rm {Ci}}(x),~~~~~~~~~(x>0)$

图中的黑色和红色曲线分别描述了$~{\rm {E}}_{1}(x)~$的实数和虚数部分。

参考文献

• Press, William H. et al. Numerical Recipes (FORTRAN). Cambridge University Press, New York: 1989.
• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Chapter 5) （页面存档备份，存于互联网档案馆）

• R. D. Misra, Proc. Cambridge Phil. Soc. 36, 173 (1940)
• S. Chandrasekhar, Radiative transfer, reprinted 1960, Dover

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Exponential Integral. MathWorld. 
• 埃里克·韦斯坦因. En-Function. MathWorld. 
• Ei的公式和恒等式 （页面存档备份，存于互联网档案馆）