數學 的分支範疇論 中，單子 （英語：monad ），又稱三元組（triple, triad ）、標準構造（standard construction ）、基本構造（fundamental construction ）[ 1] 內函子 範疇 映到自身的函子 ），連同滿足特定連貫條件 自然變換 ，三者構成的整體。單子用於研究互為伴隨的函子對 ，並將偏序集 上的閉包算子 推廣到任意範疇。
單子是一類內函子
F
{\displaystyle F}
G
{\displaystyle G}
伴隨函子 ，
F
{\displaystyle F}
G
{\displaystyle G}
G
∘
F
{\displaystyle G\circ F}
F
{\displaystyle F}
G
{\displaystyle G}
恆等函子 。一般而言，伴隨關係並不等同範疇的等價 ，而可以聯繫不同性質的範疇。為了探討伴隨關係所「保持」的性質，數學家研究單子論。理論的另一半，即藉考慮
F
∘
G
{\displaystyle F\circ G}
餘單子 （英語：comonad ）。
本條目中，
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
範疇 。
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
單子 是函子
T
:
C
→
C
{\displaystyle T:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}
自然變換 ，分別是單位
η
:
1
C
→
T
{\displaystyle \eta :1_{\mathcal {C}}\to T}
1
C
{\displaystyle 1_{\mathcal {C}}}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
乘法
μ
:
T
2
→
T
{\displaystyle \mu :T^{2}\to T}
T
2
{\displaystyle T^{2}}
T
∘
T
{\displaystyle T\circ T}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
連貫條件
μ
∘
T
μ
=
μ
∘
μ
T
{\displaystyle \mu \circ T\mu =\mu \circ \mu T}
T
3
→
T
{\displaystyle T^{3}\to T}
T
μ
{\displaystyle T\mu }
μ
T
{\displaystyle \mu T}
水平複合 而得。
μ
∘
T
η
=
μ
∘
η
T
=
1
T
{\displaystyle \mu \circ T\eta =\mu \circ \eta T=1_{T}}
T
→
T
{\displaystyle T\to T}
1
T
{\displaystyle 1_{T}}
T
{\displaystyle T}
以上兩式，亦可以下列交換圖 複述：
記號
T
μ
{\displaystyle T\mu }
μ
T
{\displaystyle \mu T}
自然變換 ，又或考慮以下更具體的寫法，不用水平複合記號，並將各函子作用在任意物件
X
{\displaystyle X}
定義中，若將
μ
{\displaystyle \mu }
幺半群 乘法結合律 ，而第二條公理類似單位元 的存在性（由
η
{\displaystyle \eta }
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
E
n
d
C
{\displaystyle \mathbf {End} _{\mathcal {C}}}
幺半群
C
{\displaystyle C}
幺半結構 來自內函子的複合運算。）如此，單子不僅在形式上具有與幺半群 相似的公理，甚而單子就是幺半群的特例。
冪集單子
P
{\displaystyle {\mathcal {P}}}
集合範疇
S
e
t
{\displaystyle \mathbf {Set} }
T
{\displaystyle T}
冪集 運算，即
T
(
A
)
{\displaystyle T(A)}
A
{\displaystyle A}
冪集 ，而對於函數
f
:
A
→
B
{\displaystyle f:A\to B}
T
(
f
)
{\displaystyle T(f)}
A
{\displaystyle A}
像集 ，即
T
(
f
)
(
A
′
)
=
f
[
A
′
]
{\displaystyle T(f)(A')=f[A']}
A
{\displaystyle A}
η
A
:
A
→
T
(
A
)
{\displaystyle \eta _{A}:A\to T(A)}
a
∈
A
{\displaystyle a\in A}
單元子集
{
a
}
{\displaystyle \{a\}}
μ
A
:
T
(
T
(
A
)
)
→
T
(
A
)
,
{\displaystyle \mu _{A}\colon T(T(A))\to T(A),}
將
A
{\displaystyle A}
並集 。以上是冪集單子的定義。
兩個單子的複合，未必為單子。舉例，冪集單子
P
{\displaystyle {\mathcal {P}}}
P
∘
P
{\displaystyle {\mathcal {P}}\circ {\mathcal {P}}}
[ 2]
取上節定義的範疇論對偶 餘單子 （或餘三元組 ）的定義。簡單複述，範疇
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
對偶範疇
C
o
p
{\displaystyle C^{\mathrm {op} }}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
U
{\displaystyle U}
餘單位 與餘乘法 （英語：counit and comultiplication ）兩個自然變換，組成的整體，而三者所要滿足的公理，是將原定義中所有態射反轉方向而得。
單子之於幺半群，如同餘單子之於餘幺半群 。每個集合皆是餘幺半群，且僅有唯一一種方式，所以抽象代數 中，較少考慮餘幺半群。然而，在線性代數 中，向量空間範疇 （配備張量積 ）的餘幺半群較為重要，以餘代數 之名為人所知。
單子的概念最早由羅傑·戈德芒 [ 3] standard construction ）。實際上，該書用到的是餘單子，用作解決某個層餘調
其後，單子又出現於彼得·胡伯（Peter Huber ）對範疇同倫 的研究中。該論文包含由任意一對伴隨函子得出單子的證明。[ 4]
1965年，海因里希·克萊斯利 [ 5] 塞繆爾·艾倫伯格 、約翰·柯曼·摩爾 [ 6] 分別獨立 證明反向的結論，即每個單子皆可由某對伴隨函子產生。後一篇論文中，將單子稱為「三元組」。
1963年，威廉·洛維爾 泛代數 的範疇論。1966年，弗雷德·林頓（Fred Linton ）將該理論用單子的語言表達。[ 7] 拓撲 方面的考量，事先似乎比洛維爾的理論更難處理，但已成為用範疇論語言闡述泛代數的方法中，較常見的一個。現今常用的英文名稱monad 是1971年由桑德斯·麥克蘭恩 在《現職數學家用的範疇 單子論 中的同名哲學概念，即某種能生出其他所有事物的實體。
1980年代，歐金尼奧·莫吉 理論計算機科學 中，利用單子，為電腦程式的若干方面建立模型，包括例外處理、邊界情況。[ 8] 函數式編程語言 仔細實作此想法，作為一種基本規律，同樣稱為單子 [ 9]
若有伴隨關係
F
:
C
⇄
D
:
G
{\displaystyle F:{\mathcal {C}}\rightleftarrows {\mathcal {D}}:G}
（即
F
{\displaystyle F}
G
{\displaystyle G}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
T
=
G
∘
F
,
{\displaystyle T=G\circ F,}
而單位自然變換來自伴隨的單位
η
:
id
C
→
G
∘
F
{\displaystyle \eta :\operatorname {id} _{\mathcal {C}}\to G\circ F}
ε
{\displaystyle \varepsilon }
T
2
=
G
∘
F
∘
G
∘
F
→
G
∘
ε
∘
F
G
∘
F
=
T
.
{\displaystyle T^{2}=G\circ F\circ G\circ F\xrightarrow {G\circ \varepsilon \circ F} G\circ F=T.}
反之，給定單子，可以明確找回一對伴隨函子，使單子為該對伴隨函子的複合。此構造用到下節定義的
T
{\displaystyle T}
C
T
{\displaystyle C^{T}}
[ 10]
給定域
k
{\displaystyle k}
雙重對偶單子 （英語：double dualisation monad ）源自伴隨關係
(
−
)
∗
:
V
e
c
t
k
⇄
V
e
c
t
k
o
p
:
(
−
)
∗
,
{\displaystyle (-)^{*}:\mathbf {Vect} _{k}\rightleftarrows \mathbf {Vect} _{k}^{\mathrm {op} }:(-)^{*},}
其中兩個函子
(
−
)
∗
{\displaystyle (-)^{*}}
k
{\displaystyle k}
向量空間
V
{\displaystyle V}
對偶空間
V
∗
:=
Hom
(
V
,
k
)
{\displaystyle V^{*}:=\operatorname {Hom} (V,k)}
V
{\displaystyle V}
雙對偶
V
∗
∗
{\displaystyle V^{**}}
Kock (1970) 對此有更廣泛的討論。
偏序集
(
P
,
≤
)
{\displaystyle (P,\leq )}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
當且僅當 偏序中
x
≤
y
{\displaystyle x\leq y}
伽羅瓦連接 ，相應的單子是伽羅華連接的閉包算子 。
又舉例，設
G
{\displaystyle G}
群範疇
G
r
p
{\displaystyle \mathbf {Grp} }
集合範疇
S
e
t
{\displaystyle \mathbf {Set} }
遺忘函子 ，將群 映至其基集，又設
F
{\displaystyle F}
自由 函子，由
S
e
t
{\displaystyle \mathbf {Set} }
G
r
p
{\displaystyle \mathbf {Grp} }
F
{\displaystyle F}
G
{\displaystyle G}
T
=
G
∘
F
{\displaystyle T=G\circ F}
X
{\displaystyle X}
F
(
X
)
{\displaystyle F(X)}
{
x
,
x
−
1
:
x
∈
X
}
{\displaystyle \{x,x^{-1}:x\in X\}}
字串 的集合。
該單子的單位變換，由包含映射
η
X
:
X
→
T
(
X
)
{\displaystyle \eta _{X}:X\rightarrow T(X)}
給出，該包含映射將
X
{\displaystyle X}
T
(
X
)
{\displaystyle T(X)}
μ
X
:
T
(
T
(
X
)
)
→
T
(
X
)
{\displaystyle \mu _{X}:T(T(X))\rightarrow T(X)}
是串接 或「壓平」運算，將若干條字串組成的串，映至該串中所有字串前後連接而成的一條字串。至此描述完單子的兩個自然變換 。
前述例子中，自由群可以推廣至其他種類的代數結構，即泛代數 意義下的任意一簇
另外，尚有一個單子源自伴隨關係。在向量空間範疇
V
e
c
t
{\displaystyle \mathbf {Vect} }
T
{\displaystyle T}
V
{\displaystyle V}
張量代數
T
(
V
)
{\displaystyle T(V)}
V
{\displaystyle V}
張量代數 ，並有乘法自然變換，在
V
{\displaystyle V}
T
(
T
(
V
)
)
→
T
(
V
)
{\displaystyle T(T(V))\to T(V)}
只要滿足某些不強的條件，無左伴隨的函子也可以產生單子，稱為餘密度單子
F
i
n
S
e
t
{\displaystyle \mathbf {FinSet} }
S
e
t
{\displaystyle \mathbf {Set} }
S
e
t
{\displaystyle \mathbf {Set} }
X
{\displaystyle X}
超濾子 的集合
β
X
{\displaystyle \beta X}
Leinster (2013) 。
給定範疇
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
(
T
,
η
,
μ
)
{\displaystyle (T,\eta ,\mu )}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
T
{\displaystyle {\boldsymbol {T}}}
T
{\displaystyle T}
T
{\displaystyle {\boldsymbol {T}}}
(
x
,
h
)
{\displaystyle (x,h)}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
x
{\displaystyle x}
h
:
T
x
→
x
{\displaystyle h:Tx\to x}
結構映射 ），使得圖
及
皆可交換。
T
{\displaystyle T}
態射
f
:
(
x
,
h
)
→
(
x
′
,
h
′
)
{\displaystyle f:(x,h)\to (x',h')}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
f
:
x
→
x
′
{\displaystyle f:x\to x'}
可交換。於是，
T
{\displaystyle T}
艾倫伯格－摩爾範疇 （英語：Eilenberg–Moore category ），記為
C
T
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{T}}
若
T
{\displaystyle T}
自由群單子 ，則
T
{\displaystyle T}
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
F
(
X
)
{\displaystyle F(X)}
X
{\displaystyle X}
求值 ，evaluation ），且該映射要滿足結合律 與單位元的公理。換言之，
X
{\displaystyle X}
F
(
X
)
{\displaystyle F(X)}
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
另一個例子是集合範疇上的分佈單子 （英語：distribution monad ）
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
X
{\displaystyle X}
支撐 的概率分佈 的集合。該等分佈，是函數
f
:
X
→
[
0
,
1
]
{\displaystyle f:X\to [0,1]}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
1
{\displaystyle 1}
D
(
X
)
=
{
f
:
X
→
[
0
,
1
]
:
#
supp
(
f
)
<
+
∞
,
∑
x
∈
X
f
(
x
)
=
1
}
.
{\displaystyle {\mathcal {D}}(X)=\left\{f:X\to [0,1]:{\begin{matrix}\#{\text{supp}}(f)<+\infty ,\\\sum _{x\in X}f(x)=1\end{matrix}}\right\}.}
可由定義證明，分佈單子上的代數，等同於凸集 ，即集合要配備二元運算
+
r
{\displaystyle +_{r}}
r
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle r\in [0,1]}
歐氏空間 中，凸組合
(
x
,
y
)
↦
r
x
+
(
1
−
r
)
y
{\displaystyle (x,y)\mapsto rx+(1-r)y}
[ 11] [ 12]
另一個有用的單子，是交換環
R
{\displaystyle R}
模範疇
M
o
d
R
{\displaystyle \mathbf {Mod} _{R}}
Sym
∙
(
−
)
:
M
o
d
R
→
M
o
d
R
{\displaystyle {\text{Sym}}^{\bullet }(-):\mathbf {Mod} _{R}\to \mathbf {Mod} _{R}}
將
R
{\displaystyle R}
M
{\displaystyle M}
對稱張量
Sym
∙
(
M
)
=
⨁
k
=
0
∞
Sym
k
(
M
)
{\displaystyle {\text{Sym}}^{\bullet }(M)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }{\text{Sym}}^{k}(M)}
其中
Sym
0
(
M
)
=
R
{\displaystyle {\text{Sym}}^{0}(M)=R}
Sym
∙
(
R
⊕
n
)
≅
R
[
x
1
,
…
,
x
n
]
{\displaystyle {\text{Sym}}^{\bullet }(R^{\oplus n})\cong R[x_{1},\ldots ,x_{n}]}
R
{\displaystyle R}
交換
R
{\displaystyle R}
。類似地，也有反對稱張量
Alt
∙
(
−
)
{\displaystyle {\text{Alt}}^{\bullet }(-)}
T
∙
(
−
)
{\displaystyle T^{\bullet }(-)}
R
{\displaystyle R}
R
{\displaystyle R}
Alt
∙
(
R
⊕
n
)
=
R
(
x
1
,
…
,
x
n
)
,
T
∙
(
R
⊕
n
)
=
R
⟨
x
1
,
…
,
x
n
⟩
,
{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Alt}}^{\bullet }(R^{\oplus n})&=R(x_{1},\ldots ,x_{n}),\\{\text{T}}^{\bullet }(R^{\oplus n})&=R\langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle ,\end{aligned}}}
前者是
R
{\displaystyle R}
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
∞ 環譜中的交換代數對於可交換
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
[ 13] :113 對於可交換
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
M
o
d
A
{\displaystyle \mathbf {Mod} _{A}}
A
{\displaystyle A}
P
:
M
o
d
A
→
M
o
d
A
{\displaystyle \mathbb {P} :\mathbf {Mod} _{A}\to \mathbf {Mod} _{A}}
P
(
M
)
=
⋁
j
≥
0
M
j
/
Σ
j
,
{\displaystyle \mathbb {P} (M)=\bigvee _{j\geq 0}M^{j}/\Sigma _{j},}
其中
M
j
=
M
∧
A
⋯
∧
A
M
⏟
j
.
{\displaystyle M^{j}=\underbrace {M\wedge _{A}\cdots \wedge _{A}M} _{j}.}
此函子是單子，而由該單子上的代數範疇，可以得到可交換
A
{\displaystyle A}
C
A
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{A}}
如前文 所述，任何伴隨關係 皆產生單子。反之，每個單子
T
{\displaystyle T}
T
{\displaystyle T}
T
(
−
)
:
C
⇄
C
T
:
F
.
{\displaystyle T(-):{\mathcal {C}}\rightleftarrows {\mathcal {C}}^{T}:F.}
其中，左伴隨
T
(
−
)
{\displaystyle T(-)}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
x
{\displaystyle x}
T
{\displaystyle T}
T
(
x
)
{\displaystyle T(x)}
F
{\displaystyle F}
T
{\displaystyle T}
(
x
,
h
)
{\displaystyle (x,h)}
h
{\displaystyle h}
x
{\displaystyle x}
A
d
j
(
C
,
T
)
{\displaystyle \mathbf {Adj} ({\mathcal {C}},T)}
(
F
,
G
,
η
,
ε
)
{\displaystyle (F,G,\eta ,\varepsilon )}
(
G
F
,
η
,
G
ε
F
)
=
(
T
,
η
,
μ
)
{\displaystyle (GF,\eta ,G\varepsilon F)=(T,\eta ,\mu )}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
C
T
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{T}}
A
d
j
(
C
,
T
)
{\displaystyle \mathbf {Adj} ({\mathcal {C}},T)}
克萊斯利範疇
C
T
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{T}}
C
T
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{T}}
T
{\displaystyle T}
完全子範疇 ，即僅包含形如
T
(
x
)
{\displaystyle T(x)}
T
{\displaystyle T}
x
{\displaystyle x}
C
{\displaystyle {\mathcal {\mathcal {C}}}}
設有伴隨關係
(
F
:
C
→
D
,
G
:
D
→
C
,
η
,
ε
)
{\displaystyle (F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}},G:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}},\eta ,\varepsilon )}
T
{\displaystyle T}
G
{\displaystyle G}
D
→
G
~
C
T
→
F
C
,
{\displaystyle {\mathcal {D}}\xrightarrow {\tilde {G}} {\mathcal {C}}^{T}\xrightarrow {F} {\mathcal {C}},}
其中
F
{\displaystyle F}
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
Y
{\displaystyle Y}
G
(
Y
)
{\displaystyle G(Y)}
T
{\displaystyle T}
G
~
{\displaystyle {\tilde {G}}}
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
C
T
{\displaystyle C^{T}}
範疇間的等價 ，則形容該伴隨關係為單子的 （英語：monadic ）。[ 14]
G
:
D
→
C
{\displaystyle G:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}
F
{\displaystyle F}
G
{\displaystyle G}
單子的 。例如，群範疇 與集合範疇 間的自由－遺忘伴隨是單子的，因為相應單子
T
{\displaystyle T}
T
{\displaystyle T}
前文 ）。一般而言，若有伴隨關係
(
F
:
C
→
D
,
G
:
D
→
C
,
η
,
ε
)
{\displaystyle (F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}},G:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}},\eta ,\varepsilon )}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
T
{\displaystyle T}
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
貝克單子性定理 給出伴隨關係在何種充要條件下為單子的。定理有以下簡化版：
若滿足以下三項條件：
G
{\displaystyle G}
保守函子
G
{\displaystyle G}
反映同構 （英語：reflects isomorphisms ），即對
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
G
{\displaystyle G}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
餘等化子
G
{\displaystyle G}
餘等化子 則
G
{\displaystyle G}
例如，由緊 豪斯多夫空間 範疇
C
H
a
u
s
{\displaystyle \mathbf {CHaus} }
集合範疇
S
e
t
{\displaystyle \mathbf {Set} }
任意拓撲空間範疇
T
o
p
{\displaystyle \mathbf {Top} }
S
e
t
{\displaystyle \mathbf {Set} }
同胚 。[ 15] 拓撲斯論 及有關下降 代數幾何 課題有用。
餘單子的伴隨關係，首先有下列例子：
−
⊗
A
B
:
M
o
d
A
⇄
M
o
d
B
:
F
,
{\displaystyle -\otimes _{A}B:\mathbf {Mod} _{A}\rightleftarrows \mathbf {Mod} _{B}:F,}
其中
A
,
B
{\displaystyle A,B}
交換環 ，左伴隨用到的張量積
⊗
A
{\displaystyle \otimes _{A}}
A
→
B
{\displaystyle A\to B}
F
{\displaystyle F}
B
{\displaystyle B}
忠實平坦
A
{\displaystyle A}
descent datum ，即源自伴隨關係的餘單子的作用）的
B
{\displaystyle B}
A
{\displaystyle A}
忠實平坦下降
函數式編程 中，會使用單子表達某類（有時有副作用的）順序式計算，見單子 (函數式編程) 。
範疇論邏輯中，藉閉包算子 、內代數 ，以及兩者與S4模態邏輯 、直覺主義邏輯 的關係，能以單子餘單子理論類比模態邏輯 。
亦可定義2-範疇
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
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![{\displaystyle T(f)(A')=f[A']}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3f7249d370cf73c7730152c0033cd5929296a46)
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![{\displaystyle f:X\to [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbce99d737c06662e393d2d3dba7505a1e6c6eb6)
![{\displaystyle {\mathcal {D}}(X)=\left\{f:X\to [0,1]:{\begin{matrix}\#{\text{supp}}(f)<+\infty ,\\\sum _{x\in X}f(x)=1\end{matrix}}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26b35016b9010f235d9755c3a45a05113967e21e)
![{\displaystyle r\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d4a8acea9f5c4e59d8f5fd0ea3c695efa7252fe)
![{\displaystyle {\text{Sym}}^{\bullet }(R^{\oplus n})\cong R[x_{1},\ldots ,x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54cf697c5af77176206c0c60aaae8be07d536615)
（英語）.
