反对称张量

数学和理论物理学中，若一张量的符号（+/−）随着指标子集的互换而变化，则称此向量在指标子集上是反对称的（或相对于指标子集反对称）。^[1]^[2]指标子集一般必须是全协变或全反变的。

例如， $T_{ijk\dots }=-T_{jik\dots }=T_{jki\dots }=-T_{kji\dots }=T_{kij\dots }=-T_{ikj\dots }$ 当张量对前三个指标反对称时成立。

若张量在交换每对指标时符号都变化，就称此向量是全反对称的。k阶全反对称协变张量场可称作微分k-形式，全反对称反变向量场可称作k-向量场。

反对称张量与对称张量

对指标i、j反对称的张量A与对指标i、j对称的张量B的缩并都是0。

对于包含 $U_{ijk\dots }$ 的一般张量U和一对指标i、j，U可分为对称部分和反对称部分：

$U_{(ij)k\dots }={\frac {1}{2}}(U_{ijk\dots }+U_{jik\dots })$		（对称部分）
$U_{[ij]k\dots }={\frac {1}{2}}(U_{ijk\dots }-U_{jik\dots })$		（反对称部分）

其他指标对也可给出类似定义。正如“部分”暗示的，对给定的一对指标，张量是其对称部分和反对称部分之和，例如 $U_{ijk\dots }=U_{(ij)k\dots }+U_{[ij]k\dots }.$

符号

反对称可用方括号表示。例如，对任意维的2阶协变张量M， $M_{[ab]}={\frac {1}{2!}}(M_{ab}-M_{ba}),$ 对3阶协变张量T， $T_{[abc]}={\frac {1}{3!}}(T_{abc}-T_{acb}+T_{bca}-T_{bac}+T_{cab}-T_{cba}).$

在任意2维和3维中，都可以写成 ${\begin{aligned}M_{[ab]}&={\frac {1}{2!}}\,\delta _{ab}^{cd}M_{cd},\\[2pt]T_{[abc]}&={\frac {1}{3!}}\,\delta _{abc}^{def}T_{def}.\end{aligned}}$ 其中 $\delta _{ab\dots }^{cd\dots }$ 是广义克罗内克δ函数，我们使用爱因斯坦求和约定对同类指标求和。