不可克隆原理

不可克隆原理（No-cloning theorem）是量子物理的一個重要結論，即不可能構造一個能夠完全複製任意量子比特，而不對原始量子位元產生干擾的系統。量子力學的線性特徵是這個原理的根本原因。

不可克隆原理是量子信息學的基礎。量子信息在信道中傳輸，不可能被第三方複製而竊取信息而不對量子信息產生干擾。因此這個原理也是量子密碼學的基石。

證明

為了證明不可克隆原理，我們首先假定，存在一個系統能夠完全拷貝任意的量子比特。

$|\phi \rangle$ 和 $|\psi \rangle$ 是兩個任意的量子狀態，我們要把這兩個狀態拷貝到另一個與他們完全無關的狀態$|k\rangle$上。我們用一個幺正算符$U$來描述這個過程。則這個拷貝算符必須具備以下性質：

$U(|\phi \rangle \otimes |k\rangle )=|\phi \rangle \otimes |\phi \rangle$

$U(|\psi \rangle \otimes |k\rangle )=|\psi \rangle \otimes |\psi \rangle$

內積$\langle U(\phi \otimes k)|U(\psi \otimes k)\rangle$可得出以下兩個等式：

$\langle U(\phi \otimes k)|U(\psi \otimes k)\rangle =\langle \phi \otimes \phi |\psi \otimes \psi \rangle$

$\langle U(\phi \otimes k)|U(\psi \otimes k)\rangle =\langle \phi \otimes k|\psi \otimes k\rangle$

這樣便得到了：

$\langle \phi \otimes \phi |\psi \otimes \psi \rangle =\langle \phi \otimes k|\psi \otimes k\rangle ,$

${\to }$

$\langle \phi |\psi \rangle \langle \phi |\psi \rangle =\langle \phi |\psi \rangle \langle k|k\rangle \,.$

因為$\langle k|k\rangle =1$，所以得出

$\langle \phi |\psi \rangle ^{2}=\langle \phi |\psi \rangle .$

這個等式僅有的兩個解是$\langle \phi |\psi \rangle =0$ 和 $\langle \phi |\psi \rangle =1$。這意味着，要麼 $\phi =\psi$ （當 $\langle \phi |\psi \rangle =1$），要麼 $\phi$ 與 $\psi$ 正交（當 $\langle \phi |\psi \rangle =0$)。只能夠克隆相同或正交的狀態，這並不是我們最初假設的任意狀態的完全克隆，不可克隆原理證明完畢。

舉例

無法從$|\psi \rangle$造出$|\psi \rangle |\psi \rangle$。

設狀態$|\psi \rangle =a|0\rangle +b|1\rangle$。 則$|\psi \rangle |\psi \rangle =a^{2}|00\rangle +ab|01\rangle +ab|10\rangle +b^{2}|11\rangle$

把$|\psi \rangle$與$|0\rangle$ 作為輸入：

$|\psi \rangle |0\rangle ={\bigg (}a|0\rangle +b|1\rangle {\bigg )}|0\rangle =a|00\rangle +b|10\rangle$

經過受控反閘，輸出:

$a|00\rangle +b|11\rangle$

這與$|\psi \rangle |\psi \rangle$ 並不相等，狀態沒有被複製。

參考文獻

• W.K. Wootters and W.H. Zurek, A Single Quantum Cannot be Cloned （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, Nature 299 (1982), pp. 802–803.
• D. Dieks, Communication by EPR devices, Physics Letters A, vol. 92(6) (1982), pp. 271–272.
• V. Buzek and M. Hillery, Quantum cloning, Physics World 14 (11) (2001), pp. 25–29.