Thin群 (围长)

数学上，一个群称为thin，如果以任意有限生成集合导出的凯莱图的围长，有一个有限上界。一个不是thin的群称为fat。

给定群的一个生成集合，考虑由之导出的凯莱图。图的顶点是群的元素。当一个元素是另一个元素乘以一个生成元时，将两个元素的对应顶点用一条边相连。这个图是连通图，也是顶点传递的。图中的道路对应于用生成元写成的字。

如果凯莱图中有一个给定长度的圈，则有一个相同长度的圈包含单位元。所以这个图的围长是化约为单位元的非平凡字的最短长度。

若凯莱图中没有圈，其围长定为无限。

群G关于生成集合X的围长记为U(X,G)。

凯莱图的围长依赖于生成集合。一个群是thin，如果对任意有限生成集合，围长都有一个上界。

设$\mathbf {X} _{G}$为群G的有限生成集合族，记G的围长为

$U(G)=\sup _{X\in \mathbf {X} _{G}}U(X,G)$

若$U(G)<\infty$，则G是thin。

与thin群有关的性质

• 任何有限群都是thin。
• 任何自由群都是fat。
• 循环群的围长不大于该群的目。
• 非循环的阿贝尔群的围长不大于4，因任意两个生成元都可交换，而这交换关系给出一个长度为4的非平凡字。
• 二面体群的围长是2。
• 所有可解群都是thin。

外部链接

• Schleimer, S. A preliminary paper on girth of groups