在同调论 与代数馀链 中,馀调 表示由与拓朴空间 相关的阿贝尔群 组成的序列,经常由馀链复形 定义。馀调可以被视为给予空间(比同调)更丰富的代数不变量的方式。某些馀调是将同调的建构对偶化产生的。换言之,馀链是同调论中链群上的函数。
这个概念一开始是在拓扑学 中,到20世纪后半变成数学的一个主要方法。从原先将同调作为建构拓朴空间的代数不变量的方法,现今同调与馀调理论的应用已遍布几何与代数。馀调是个反变 的理论,而在很多应用中比同调更自然,但术语使上述事实变得不明显。基础地看,这与几何的情况中的函数与拉回 有关:给定空间 X、Y 、 Y 上的某种函数 F ,对任何映射 f : X → Y ,与 f 的复合会产生在 X 上的函数 F ∘ f 。最重要的一些馀调论有一种积,称为杯积 ,使其具有环 的结构。所以,馀调常是比同调更强的不变量。
广义上的同调理论(其他代数或几何结构的不变式,而不是拓扑空间的不变式)包括:代数K理论,李代数同调,晶体同调等。
奇异上同调
奇异上同调 是拓扑学中一个强大的不变量,将分次交换环 同任意拓扑空间联系起来。每个连续映射
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:\ X\to Y}
都决定了从Y 的上同调环到X 的上同调环的同态 ,这对X 到Y 的可能映射施加了强有力的限制。上同调环不同于同伦群 等更微妙的不变式,对于感兴趣的空间来说,实际上往往是可以计算的。
对拓扑空间X ,奇异上同调的定义始于奇异链复形::108
⋯
→
C
i
+
1
→
∂
i
+
1
C
i
→
∂
i
C
i
−
1
→
⋯
{\displaystyle \cdots \to C_{i+1}{\stackrel {\partial _{i+1}}{\to }}C_{i}{\stackrel {\partial _{i}}{\to }}\ C_{i-1}\to \cdots }
由定义,X 的奇异同调 是这链复形的同调(一个同态的核对前一个的像取模)。更详细地说,
C
i
{\displaystyle C_{i}}
是从标准i 单纯形到X (称作“X 中的奇异i 单形(simplice)”)的连续映射集的自由阿贝尔群 ;
∂
i
{\displaystyle \partial _{i}}
是第i 个边界同态。i 为负数时,群
C
i
{\displaystyle C_{i}}
为零。
现固定一个阿贝尔群A ,把每个群Ci 换成其对偶群
C
i
∗
:=
H
o
m
(
C
i
,
A
)
,
{\displaystyle C_{i}^{*}:=\mathrm {Hom} (C_{i},A),}
;把
∂
i
{\displaystyle \partial _{i}}
换成对偶同态
d
i
−
1
:
C
i
−
1
∗
→
C
i
∗
.
{\displaystyle d_{i-1}:C_{i-1}^{*}\to C_{i}^{*}.}
这会把原复形的“所有箭头都逆转”,留下上链复形
⋯
←
C
i
+
1
∗
←
d
i
C
i
∗
←
d
i
−
1
C
i
−
1
∗
←
⋯
{\displaystyle \cdots \leftarrow C_{i+1}^{*}{\stackrel {d_{i}}{\leftarrow }}\ C_{i}^{*}{\stackrel {d_{i-1}}{\leftarrow }}C_{i-1}^{*}\leftarrow \cdots }
对任意整数i ,X 的第i 个系数在A 中的上同调群 定义为
k
e
r
(
d
i
)
/
i
m
(
d
i
−
1
)
,
{\displaystyle {\rm {ker}}(d_{i})/{\rm {im}}(d_{i-1}),}
记作
H
i
(
X
,
A
)
.
{\displaystyle H^{i}(X,\ A).}
i 为负数时,群为零。
C
i
∗
{\displaystyle C_{i}^{*}}
的元素称作奇异i 上链 ,系数在A 中。(等价地,X 上的i 上链可从X 中到A 的奇异i 单形集函数中辨别出来)ker(d )、im(d )中的元素分别称作上循环 和上边界 (coboundary),
k
e
r
(
d
)
/
i
m
(
d
)
=
H
i
(
X
,
A
)
{\displaystyle {\rm {ker}}(d)/{\rm {im}}(d)=H^{i}(X,\ A)}
的元素则称作上同调类 (因为是上循环的等价类 )。
下文时而省略系数群A 不写。通常取A 为交换环 R ,则上同调群为R 模 。标准的选择是整数环Z 。
上同调的一些形式性质与同调基本一致:
连续映射
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y}
决定了同调上的前推 同态
f
∗
:
H
i
(
X
)
→
H
i
(
Y
)
{\displaystyle f_{*}:H_{i}(X)\to H_{i}(Y)}
与上同调上的拉回 同态
f
∗
:
H
i
(
Y
)
→
H
i
(
X
)
{\displaystyle f^{*}:H^{i}(Y)\to H^{i}(X)}
,这使上同调成为从拓扑空间到阿贝尔群(或R 模)的反变函子 。
X 到Y 的两个同伦 映射会在上同调引起相同的同态(如在同调上)。
迈尔–维托里斯正合列 是同调与上同调中重要的计算工具。注意边界同态增加(而非减少)了上同调的度;即,若空间X 是开子集 U 与V 的交,则有长正合序列 :
⋯
→
H
i
(
X
)
→
H
i
(
U
)
⊕
H
i
(
V
)
→
H
i
(
U
∩
V
)
→
H
i
+
1
(
X
)
→
⋯
{\displaystyle \cdots \to H^{i}(X)\to H^{i}(U)\oplus H^{i}(V)\to H^{i}(U\cap V)\to H^{i+1}(X)\to \cdots }
对空间X 的任意子空间 Y ,有相关上同调 群
H
i
(
X
,
Y
;
A
)
.
{\displaystyle H^{i}(X,Y;A).}
由长正合序列与通常的上同调群相关联:
⋯
→
H
i
(
X
,
Y
)
→
H
i
(
X
)
→
H
i
(
Y
)
→
H
i
+
1
(
X
,
Y
)
→
⋯
{\displaystyle \cdots \to H^{i}(X,Y)\to H^{i}(X)\to H^{i}(Y)\to H^{i+1}(X,Y)\to \cdots }
泛系数定理 用Ext群 描述了上同调,即有短正合序列
0
→
Ext
Z
1
(
H
i
−
1
(
X
,
Z
)
,
A
)
→
H
i
(
X
,
A
)
→
Hom
Z
(
H
i
(
X
,
Z
)
,
A
)
→
0.
{\displaystyle 0\to \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(\operatorname {H} _{i-1}(X,\mathbb {Z} ),A)\to H^{i}(X,A)\to \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(H_{i}(X,\mathbb {Z} ),A)\to 0.}
相关的说法是,对域 F ,
H
i
(
X
,
F
)
{\displaystyle H^{i}(X,F)}
正是向量空间
H
i
(
X
,
F
)
{\displaystyle H_{i}(X,F)}
的对偶空间 。
若X 是拓扑流形 或CW复形 ,则对大于X 的维度的i ,上同调群
H
i
(
X
,
A
)
{\displaystyle H^{i}(X,A)}
为零。[ 2] 若X 是紧 流形(可能有界),或是在每个维度都有有限多单元的CW复形,且R 是交换诺特环 ,则R 模
H
i
(
X
,
R
)
{\displaystyle H^{i}(X,\ R)}
对每个i 都是有限生成模 。[ 3]
另一方面,上同调有同调没有的重要结构:对任意拓扑空间X 与交换环R ,有称作上积 的双线性映射 :
H
i
(
X
,
R
)
×
H
j
(
X
,
R
)
→
H
i
+
j
(
X
,
R
)
,
{\displaystyle H^{i}(X,R)\times H^{j}(X,R)\to H^{i+j}(X,R),}
从奇异上链的明确公式定义。上同调类u 与v 的积写作u ∪ v 或只是uv ,这个积使得直和
H
∗
(
X
,
R
)
=
⨁
i
H
i
(
X
,
R
)
{\displaystyle H^{*}(X,R)=\bigoplus _{i}H^{i}(X,R)}
变为分次环 ,称作X 的上同调环 ,在如下意义上是分次交换环 :
u
v
=
(
−
1
)
i
j
v
u
,
u
∈
H
i
(
X
,
R
)
,
v
∈
H
j
(
X
,
R
)
.
{\displaystyle uv=(-1)^{ij}vu,\qquad u\in H^{i}(X,R),v\in H^{j}(X,R).}
对任意连续映射
f
:
X
→
Y
,
{\displaystyle f\colon X\to Y,}
,拉回
f
∗
:
H
∗
(
Y
,
R
)
→
H
∗
(
X
,
R
)
{\displaystyle f^{*}:H^{*}(Y,R)\to H^{*}(X,R)}
是分次R 代数 的同态。可见,若两空间同伦等价 ,则它们的上同调环就同构。
下面是上积的一些几何解释。除非另有说明,否则默认流形无界。闭流形 是(不含边界)紧流形,而流形M 的闭子流形 N 是M 的闭子集 的子流形,不必是紧流形(不过,若M 紧,则N 必紧)。
非常不正式地说,对任意拓扑空间X ,
H
i
(
X
)
{\displaystyle H^{i}(X)}
的元素都可认为是可在X 上自由移动的余维度为i 的子空间。举例来说,定义元素的一种方法是给出从X 到流形M 的连续映射f ,以及M 的余维度为i 的闭子流形N ,且在法丛上有向。形式上说,可将结果类
f
∗
(
[
N
]
)
∈
H
i
(
X
)
{\displaystyle f^{*}([N])\in H^{i}(X)}
视为位于X 的子空间
f
−
1
(
N
)
{\displaystyle f^{-1}(N)}
上;这是合理的,因为类
f
∗
(
[
N
]
)
{\displaystyle f^{*}([N])}
在开子集
X
−
f
−
1
(
N
)
{\displaystyle X-f^{-1}(N)}
的上同调中限制为零。上同调类
f
∗
(
[
N
]
)
{\displaystyle f^{*}([N])}
可在X 上自由移动,即N 可被M 内N 的任意连续变形所代替。
例子
下面默认上同调系数为整数。
点的上同调环是度为0的环Z 。根据同伦不变性,这也是任何可紧空间 的上同调环,如欧氏空间R n 。
2维环面的第一上同调群的基由所示两个圆的类给出。 对正整数n ,N维球面
S
n
{\displaystyle S^{n}}
的上同调环是
Z
[
x
]
/
(
x
2
)
{\displaystyle \mathbb {Z} [x]/(x^{2})}
(多项式环 对给定理想 的商环 ),x 的度为n 。根据上述庞加莱对偶性,x 是球面上一点的类。
环面
(
S
1
)
n
{\displaystyle (S^{1})^{n}}
的上同调环是度为1的n 个生成器上的Z 的外代数 。例如,令P 表示圆
S
1
{\displaystyle S^{1}}
中的点,Q 为2维环面
(
S
1
)
2
{\displaystyle (S^{1})^{2}}
中的点(P ,P )。则,
(
S
1
)
2
{\displaystyle (S^{1})^{2}}
的上同调有如下形式的自由Z 模 基:度为0的元素1、度为1的
x
:
=
[
P
×
S
1
]
{\displaystyle x\mathrel {\mathop {:} } =[P\times S^{1}]}
及
y
:
=
[
S
1
×
P
]
{\displaystyle y\mathrel {\mathop {:} } =[S^{1}\times P]}
、度为2的
x
y
=
[
Q
]
.
{\displaystyle xy=[Q].}
(此处隐含地固定了环面和两个圆的方向)注意由分次交换性可知,
y
x
=
−
x
y
=
−
[
Q
]
.
{\displaystyle yx=-xy=-[Q].}
更一般地,令R 为交换环、令X 与Y 为使
H
∗
(
X
,
R
)
{\displaystyle H^{*}(X,\ R)}
为所有度都是有限生成自由R 模的任意拓扑空间(Y 不需要假设)。则据克奈定理 ,积空间
X
×
Y
{\displaystyle X\times Y}
的上同调环是R 代数的张量积::定理3.15
H
∗
(
X
×
Y
,
R
)
≅
H
∗
(
X
,
R
)
⊗
R
H
∗
(
Y
,
R
)
.
{\displaystyle H^{*}(X\times Y,R)\cong H^{*}(X,R)\otimes _{R}H^{*}(Y,R).}
实射影空间
R
P
n
{\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}}
的上同调环(系数位于
Z
/
2
{\displaystyle \mathbb {Z} /2}
)是
Z
/
2
[
x
]
/
(
x
n
+
1
)
{\displaystyle \mathbb {Z} /2[x]/(x^{n+1})}
,x 的度为1。:定理3.19 当中x 是
R
P
n
{\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}}
中的超平面
R
P
n
−
1
{\displaystyle \mathbb {RP} ^{n-1}}
的类,即使
R
P
j
{\displaystyle \mathbb {RP} ^{j}}
(j 为正偶数)无向也成立,因为
Z
/
2
{\displaystyle \mathbb {Z} /2}
系数的庞加莱对偶性适于任意流形。
若系数是整数,就比较复杂了。
R
P
2
a
{\displaystyle \mathbb {RP} ^{2a}}
的Z 上同调具有度为2的元素y ,使整个上同调是度为0的元素1张成的Z 与
y
i
(
i
=
1
,
…
,
a
)
{\displaystyle y^{i}\ (i=1,\ \ldots ,\ a)}
张成的Z /2的直和。
R
P
2
a
+
1
{\displaystyle \mathbb {RP} ^{2a+1}}
的Z 上同调也如此,只是多了一份度为2a+1的Z 。:22
复射影空间
C
P
n
{\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}
的上同调环是
Z
[
x
]
/
(
x
m
+
1
)
{\displaystyle \mathbb {Z} [x]/(x^{m+1})}
,其中x 的度为2。:定理3.19 x 是
C
P
n
{\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}
中超平面
C
P
n
−
1
{\displaystyle \mathbb {CP} ^{n-1}}
的类;更一般地说,
x
j
{\displaystyle x^{j}}
是
C
P
n
{\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}
中线性子空间
C
P
n
−
j
{\displaystyle \mathbb {CP} ^{n-j}}
的类。
亏格 g ≥ 0的闭有向面X 的上同调环有如下形式的自由Z 模的基:度为0的元素1、度为1的
A
1
,
…
,
A
g
{\displaystyle A_{1},\ \ldots ,\ A_{g}}
及
B
1
,
…
,
B
g
{\displaystyle B_{1},\ \ldots ,\ B_{g}}
、度为2的点的类P 。积由下面的定义给出:
A
i
A
j
=
B
i
B
j
=
0
,
∀
i
,
j
;
A
i
B
j
=
0
(
i
≠
j
)
;
A
i
B
j
=
0
(
i
≠
j
)
,
A
i
B
i
=
P
,
∀
i
.
{\displaystyle A_{i}A_{j}=B_{i}B_{j}=0,\ \forall i,\ j;\quad A_{i}B_{j}=0\ (i\neq j);\quad A_{i}B_{j}=0\ (i\neq j),\ A_{i}B_{i}=P,\ \forall i.}
由分次交换性,可知有B i A i = −P
在任意拓扑空间上,上同调环的分次交换性都表明,对任意度为奇的上同调类x 都有
2
x
2
=
0.
{\displaystyle 2x^{2}=0.}
因此,对包含1/2的环R ,
H
∗
(
X
,
R
)
{\displaystyle H^{*}(X,\ R)}
中所有度为奇的元素的平方都是零。另一方面,若R 是
Z
/
2
{\displaystyle \mathbb {Z} /2}
或
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
,则度为奇的元素不必有平方零,正如例子
R
P
2
{\displaystyle \mathbb {RP} ^{2}}
(系数
Z
/
2
{\displaystyle \mathbb {Z} /2}
)或
R
P
4
×
R
P
2
{\displaystyle \mathbb {RP} ^{4}\times \mathbb {RP} ^{2}}
(系数
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
)。
对角
上积可视作来自对角映射
Δ
:
X
→
X
×
X
,
x
↦
(
x
,
x
)
.
{\displaystyle \Delta :\ X\to X\times X,\ x\mapsto (x,\ x).}
也就是说,对于具有上同调类
u
∈
H
i
(
X
,
R
)
,
v
∈
H
j
(
Y
,
R
)
{\displaystyle u\in H^{i}(X,\ R),\ v\in H^{j}(Y,\ R)}
的任意空间X 、Y ,有外积 (或叉积 )上同调类
u
×
v
∈
H
i
+
j
(
X
×
Y
,
R
)
.
{\displaystyle u\times v\in H^{i+j}(X\times Y,\ R).}
类
u
∈
H
i
(
X
,
R
)
,
v
∈
H
j
(
X
,
R
)
{\displaystyle u\in H^{i}(X,\ R),\ v\in H^{j}(X,\ R)}
的上积可定义为外积的对角线拉回::186
u
v
=
Δ
∗
(
u
×
v
)
∈
H
i
+
j
(
X
,
R
)
.
{\displaystyle uv=\Delta ^{*}(u\times v)\in H^{i+j}(X,R).}
另外,外积也可用上积定义。对空间X 、Y ,将两投影分别写作
f
:
X
×
Y
→
X
,
g
:
X
×
Y
→
Y
{\displaystyle f:\ X\times Y\to X,\ g:\ X\times Y\to Y}
,则
u
∈
H
i
(
X
,
R
)
,
v
∈
H
j
(
Y
,
R
)
{\displaystyle u\in H^{i}(X,\ R),\ v\in H^{j}(Y,\ R)}
两类的外积就是
u
×
v
=
(
f
∗
(
u
)
)
(
g
∗
(
v
)
)
∈
H
i
+
j
(
X
×
Y
,
R
)
.
{\displaystyle u\times v=(f^{*}(u))(g^{*}(v))\in H^{i+j}(X\times Y,R).}
庞加莱对偶性
庞加莱对偶性的另一种解释是,闭有向流形的上同调环在强意义上是自对偶的。也就是说,令X 为n 维闭紧 有向流形,F 为域。则
H
n
(
X
,
F
)
{\displaystyle H^{n}(X,\ F)}
同构于F ,积
H
i
(
X
,
F
)
×
H
n
−
i
(
X
,
F
)
→
H
n
(
X
,
F
)
≅
F
{\displaystyle H^{i}(X,F)\times H^{n-i}(X,F)\to H^{n}(X,F)\cong F}
对每个整数i 是完美配对 。特别地,向量空间
H
i
(
X
,
F
)
,
H
n
−
i
(
X
,
F
)
{\displaystyle H^{i}(X,\ F),\ H^{n-i}(X,\ F)}
具有相同的(有限)维度。同样,积分上同调模挠 、在
H
n
(
X
,
Z
)
≅
Z
{\displaystyle H^{n}(X,\ \mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }
中取值的积是Z 上的完美配对。
示性类
拓扑空间X 上秩为r 的有向实向量丛 E 决定了X 上的上同调类,即欧拉类
ξ
(
E
)
∈
H
r
(
X
,
Z
)
{\displaystyle \xi (E)\in H^{r}(X,\ \mathbb {Z} )}
χ。非正式地说,欧拉类是E 的一般截面 的零集类。E 若是光滑流形X 上的光滑向量丛E ,这种解释会更明确,因为此时X 的一般光滑截面会在X 的r 余维子流形上归于零。
在上同调取值的向量丛还有其他几种示性类 ,如陈类 、施蒂费尔–惠特尼类 、庞特里亚金类 等。
艾伦伯格–麦克兰恩空间
对任意阿贝尔群A 与自然数j ,有空间
K
(
A
,
j
)
{\displaystyle K(A,j)}
,其第j个同伦群同构于A ,其他同伦群均为零。这样的空间叫做艾伦伯格–麦克兰恩空间 ,对上同调是分类空间 :有
H
j
(
K
(
A
,
j
)
,
A
)
{\displaystyle H^{j}(K(A,j),A)}
的自然元素u ,每个空间X 上每个度为j 的上同调类都是u 对某连续映射
X
→
K
(
A
,
j
)
{\displaystyle X\to K(A,j)}
的拉回。更确切地说,类u 的拉回对每个具有CW复形上同调类型的空间X 给出了双射:177
[
X
,
K
(
A
,
j
)
]
→
≅
H
j
(
X
,
A
)
{\displaystyle [X,K(A,j)]{\stackrel {\cong }{\to }}H^{j}(X,A)}
当中
[
X
,
Y
]
{\displaystyle [X,Y]}
表示X 到Y 的连续映射的同伦类集合。
例如,空间
K
(
Z
,
1
)
{\displaystyle K(\mathbb {Z} ,1)}
(同伦等价意义上)可看作是圆
S
1
{\displaystyle S^{1}}
,所以上面的描述说,
H
1
(
X
,
Z
)
{\displaystyle H^{1}(X,\mathbb {Z} )}
的每个元素都是通过某映射
X
→
S
1
{\displaystyle X\to S^{1}}
从
S
1
{\displaystyle S^{1}}
是哪个一点的类u 拉回的。
对系数在任意阿贝尔群A (如CW复形X )中的第一上同调,都有相关的描述:
H
1
(
X
,
A
)
{\displaystyle H^{1}(X,A)}
与具有群A 的X 的伽罗瓦覆叠空间 的同构类集(也称为X 上的主A 丛 )一一对应。对连通的X ,
H
1
(
X
,
A
)
{\displaystyle H^{1}(X,A)}
同构于
Hom
(
π
1
(
X
)
,
A
)
{\displaystyle \operatorname {Hom} (\pi _{1}(X),A)}
,曲线
π
1
(
X
)
{\displaystyle \pi _{1}(X)}
是X 的基本群 。例如,
H
1
(
X
,
Z
/
2
)
{\displaystyle H^{1}(X,\mathbb {Z} /2)}
分类了X 的双覆叠空间,元素
0
∈
H
1
(
X
,
Z
/
2
)
{\displaystyle 0\in H^{1}(X,\mathbb {Z} /2)}
对应平凡双覆叠,即两个X 的不交并。
下积
对任意拓扑空间X 、任意整数i 、j 、任意交换环R ,下积 是双线性映射
∩
:
H
i
(
X
,
R
)
×
H
j
(
X
,
R
)
→
H
j
−
i
(
X
,
R
)
{\displaystyle \cap :H^{i}(X,R)\times H_{j}(X,R)\to H_{j-i}(X,R)}
得到映射
H
∗
(
X
,
R
)
×
H
∗
(
X
,
R
)
→
H
∗
(
X
,
R
)
{\displaystyle H^{*}(X,R)\times H_{*}(X,R)\to H_{*}(X,R)}
使X 的奇异上同调成为X 的奇异上同调环上的模。
i
=
j
{\displaystyle i=j}
时,下积给出了自然同态
H
i
(
X
,
R
)
→
Hom
R
(
H
i
(
X
,
R
)
,
R
)
,
{\displaystyle H^{i}(X,R)\to \operatorname {Hom} _{R}(H_{i}(X,R),R),}
其是R 域的同构。
例如,令X 是有向流形,不必是紧的。则其余维为i 的闭有向子流形Y (不必紧)确定了
H
i
(
X
,
R
)
{\displaystyle H^{i}(X,\ R)}
中的一个元素,X 的紧有向j 维子流形Z 确定了
H
j
(
X
,
R
)
{\displaystyle H_{j}(X,\ R)}
中的一个元素。下积
[
Y
]
∩
[
Z
]
∈
H
j
−
i
(
X
,
R
)
{\displaystyle [Y]\cap [Z]\in H_{j-i}(X,\ R)}
可通过扰动Y 、Z 使其横截相交,再取交集的类(即j-i维紧有向子流形)进行计算。
n 维闭有向子流形X 在
H
n
(
X
,
R
)
{\displaystyle H_{n}(X,\ R)}
中具有基本类
[
X
]
{\displaystyle [X]}
。庞加莱对偶同构
H
i
(
X
,
R
)
→
≅
H
n
−
i
(
X
,
R
)
{\displaystyle H^{i}(X,R){\overset {\cong }{\to }}H_{n-i}(X,R)}
可通过与X 的基本类的下积定义。
奇异上同调简史
上同调是现代代数拓扑的基础,但在同调论发展了40余年后,人们才意识到其重要性。亨利·庞加莱 证明庞加莱对偶定理用的“对偶单元结构”概念即是上同调思想的雏形,但后来才被发现。
H
i
(
M
)
×
H
j
(
M
)
→
H
i
+
j
−
n
(
M
)
,
{\displaystyle H_{i}(M)\times H_{j}(M)\to H_{i+j-n}(M),}
这与M 的上同调的上积 很相似。
层上同调
层上同调 是奇异上同调的丰富推广,允许更一般的系数,而不限于阿贝尔群。对拓扑空间X 上任意的阿贝尔群层 ,有上同调群
H
i
(
X
,
E
)
{\displaystyle H^{i}(X,\ E)}
(i 为整数)。特别地,X 上的常层 与阿贝尔群A 相关联的情形下,所得的群
H
i
(
X
,
A
)
{\displaystyle H^{i}(X,\ A)}
与X 的奇异上同调(流形或CW复形)重合(并非对任意X 都成立)。20世纪50年代开始,层上同调成为了代数几何 与复分析 的核心部分,部分原因是正则函数层或全纯函数 层的重要性。
亚历山大·格罗滕迪克 用同调代数 优雅地定义、描述了层上同调。其要点在于固定空间X ,并将层上同调视作从X 上的阿贝尔范畴 层到阿贝尔群的函子。首先,取从X 上的层E 到其在X 上的非局部截面的阿贝尔群的函子,即E (X ),它是左正合函子 ,而不必右正合。格罗滕迪克定义层上同调群为左正合函子
E
↦
E
(
X
)
{\displaystyle E\mapsto E(X)}
的右导出函子 。
这定义可以有很多推广。例如,可定义拓扑空间X 的上同调,其系数可以在层的任意复形中,早先称作超上同调 (现在则只叫做“上同调”)。从这角度来看,层上同调成了从X 上的层导出范畴 到阿贝尔群的函子序列。
更广义地讲,“上同调”常用作阿贝尔范畴上的左正合函子的右导出函子,而“同调”则是右正合函子的左导出函子。例如,对于环R ,Tor群
T
o
r
i
R
(
M
,
N
)
{\displaystyle {\rm {Tor}}_{i}^{R}(M,\ N)}
在每个簇形成“同调”,即R 模的张量积
M
⊗
R
N
{\displaystyle M\otimes _{R}N}
的左导出函子。同样,Ext群
E
x
t
R
i
(
M
,
N
)
{\displaystyle {\rm {Ext}}_{R}^{i}(M,\ N)}
可视作是每个簇中的“上同调”,c即Hom函子
H
o
m
R
(
M
,
N
)
{\displaystyle {\rm {Hom}}_{R}(M,\ N)}
的右导出函子。
层上同调与一种Ext群相关:对拓扑空间X 上的层E ,
H
i
(
X
,
E
)
{\displaystyle H^{i}(X,\ E)}
同构于
E
x
t
i
(
Z
X
,
E
)
{\displaystyle {\rm {Ext}}^{i}(\mathbb {Z} _{X},\ E)}
,当中
Z
X
{\displaystyle \mathbb {Z} _{X}}
表示与整数Z 相关联的常层,Ext取X 上的层的阿贝尔范畴。
簇的上同调
有很多构造可计算代数簇 的上同调。最简单的情形是确定
0
{\displaystyle 0}
特征域上光滑射影簇的上同调。霍奇理论有叫做霍奇结构 的工具,有助于计算这些簇类的上同调(增加了更精细的信息)。最简单的情形下,
P
n
{\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}
中的光滑超平面的上同调可仅根据多项式的度确定。
考虑有限或特征为
p
{\displaystyle p}
的域上的簇,需要更有力的工具,因为同调/上同调的经典定义被打破了:有限域上的簇只能是有限点集。格罗滕迪克提出了运用格罗滕迪克拓扑的想法,并用平展拓扑 上的层上同调定义有限域上的簇的上同调论。利用特征
p
{\displaystyle p}
域上的簇的平展拓扑,可构造
ℓ
{\displaystyle \ell }
进上同调(
ℓ
≠
p
{\displaystyle \ell \neq p}
):
H
k
(
X
;
Q
ℓ
)
:=
lim
←
H
e
t
k
(
X
;
Z
/
(
ℓ
n
)
)
⊗
Z
ℓ
Q
ℓ
{\displaystyle H^{k}(X;\mathbb {Q} _{\ell }):=\varprojlim H_{et}^{k}(X;\mathbb {Z} /(\ell ^{n}))\otimes _{\mathbb {Z} _{\ell }}\mathbb {Q} _{\ell }}
若有有限类型的概形
X
=
Proj
(
Z
[
x
0
,
…
,
x
n
]
(
f
1
,
…
,
f
k
)
)
{\displaystyle X={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {Z} \left[x_{0},\ldots ,x_{n}\right]}{\left(f_{1},\ldots ,f_{k}\right)}}\right)}
则只要簇在两个域上都光滑,
X
(
C
)
{\displaystyle X(\mathbb {C} )}
的贝蒂上同调和
X
(
F
q
)
{\displaystyle X(\mathbb {F} _{q})}
的
ℓ
{\displaystyle \ell }
进上同调的维度就相等。此外,还有韦尔上同调论 ,与奇异上同调的行为类似。有一种猜想,其理论动机是所有韦尔上同调论的基础。
另一个有用的计算工具是爆破序列(blowup sequence)。给定余维度
≥
2
{\displaystyle \geq 2}
的子概形
Z
⊂
X
{\displaystyle Z\subset X}
,有笛卡儿平方
E
⟶
B
l
Z
(
X
)
↓
↓
Z
⟶
X
{\displaystyle {\begin{matrix}E&\longrightarrow &Bl_{Z}(X)\\\downarrow &&\downarrow \\Z&\longrightarrow &X\end{matrix}}}
由此,有相关的长正合序列
⋯
→
H
n
(
X
)
→
H
n
(
Z
)
⊕
H
n
(
B
l
Z
(
X
)
)
→
H
n
(
E
)
→
H
n
+
1
(
X
)
→
⋯
{\displaystyle \cdots \to H^{n}(X)\to H^{n}(Z)\oplus H^{n}(Bl_{Z}(X))\to H^{n}(E)\to H^{n+1}(X)\to \cdots }
若子簇
Z
{\displaystyle Z}
光滑,则连通态射均平凡,因此
H
n
(
B
l
Z
(
X
)
)
⊕
H
n
(
Z
)
≅
H
n
(
X
)
⊕
H
n
(
E
)
{\displaystyle H^{n}(Bl_{Z}(X))\oplus H^{n}(Z)\cong H^{n}(X)\oplus H^{n}(E)}
此外,利用法丛
N
Z
/
X
{\displaystyle N_{Z/X}}
的陈类,爆破的上同调环很容易计算,公式为
H
∗
(
)
{\displaystyle H^{*}()}
公理与广义上同调论
拓扑空间的上同调有多种定义(如奇异上同调、切赫上同调 、亚历山大–斯潘尼尔上同调 或层上同调 )(此处层上同调只考虑系数在常层中)。这些理论对某些空间给出了不同结果,但对一大类空间都是一致的,这从公理上最容易理解:有一系列属性称作艾伦伯格-斯廷罗德公理 ,任意两个满足其的构造至少在所有CW复形上都一致。:95 同调论和上同调论都有公理版本。有些理论可作为计算特殊拓扑空间的奇异上同调的工具,如单纯复形 的单纯上同调、CW复形的胞腔上同调 、光滑流形的德拉姆上同调 。
上同调论的艾伦伯格-斯廷罗德公理之一是维度公理 :若P 是单点,则
H
i
(
P
)
=
0
,
∀
i
≠
0.
{\displaystyle H^{i}(P)=0,\ \forall i\neq 0.}
1960年左右,George W. Whitehead发现,完全省略维度公理很有意义:这就产生了广义(上)同调论(定义如下)。K理论或复配边之类的广义上同调论,提供了拓扑空间的丰富信息,且是奇异上同调无法直接提供的(这时,奇异上同调通常叫做“普通上同调”)。
由定义,广义同调论 是从CW-拓扑对 范畴
(
X
,
A
)
{\displaystyle (X,\ A)}
(于是X 是CW复形,A 是子复形)到阿贝尔群范畴的函子 序列
h
i
{\displaystyle h_{i}}
(i 是整数),以及自然变换
∂
i
:
h
i
(
X
,
A
)
→
h
i
−
1
(
A
)
{\displaystyle \partial _{i}:\ h_{i}(X,\ A)\to h_{i-1}(A)}
,称作边界同态 (其中
h
i
−
1
(
A
)
{\displaystyle h_{i-1}(A)}
是
h
i
−
1
(
A
,
∅
)
{\displaystyle h_{i-1}(A,\ \emptyset )}
的简写)。公理如下:
同伦 :若
f
:
(
X
,
A
)
→
(
Y
,
B
)
{\displaystyle f:(X,A)\to (Y,B)}
同伦于
g
:
(
X
,
A
)
→
(
Y
,
B
)
{\displaystyle g:(X,A)\to (Y,B)}
,则同调上的诱导同态相同。
正合性 :由结论f : A → X 、g : (X ,∅) → (X ,A ) ,每对(X ,A )都在同调上诱导了长正合序列:
⋯
→
h
i
(
A
)
→
f
∗
h
i
(
X
)
→
g
∗
h
i
(
X
,
A
)
→
∂
h
i
−
1
(
A
)
→
⋯
.
{\displaystyle \cdots \to h_{i}(A){\overset {f_{*}}{\to }}h_{i}(X){\overset {g_{*}}{\to }}h_{i}(X,A){\overset {\partial }{\to }}h_{i-1}(A)\to \cdots .}
切除 :若X 是子复形A 、B 的并,则对每个i ,包含
f
:
(
A
,
A
∩
B
)
→
(
X
,
B
)
{\displaystyle f:\ (A,\ A\cap B)\to (X,\ B)}
会诱导同构
h
i
(
A
,
A
∩
B
)
→
f
∗
h
i
(
X
,
B
)
{\displaystyle h_{i}(A,A\cap B){\overset {f_{*}}{\to }}h_{i}(X,B)}
可加性 :若(X ,A )是一组对
(
X
α
,
A
α
)
{\displaystyle (X_{\alpha },\ A_{\alpha })}
的不交并,则对每个i ,包含
(
X
α
,
A
α
)
→
(
X
,
A
)
{\displaystyle (X_{\alpha },\ A_{\alpha })\to (X,\ A)}
会诱导从直积出发的同构:
⨁
α
h
i
(
X
α
,
A
α
)
→
h
i
(
X
,
A
)
{\displaystyle \bigoplus _{\alpha }h_{i}(X_{\alpha },A_{\alpha })\to h_{i}(X,A)}
广义上同调论的公理大致是通过翻转箭头得到的。更详细地说,广义上同调论 是一系列从CW-拓扑对范畴到阿贝尔群范畴的反变函子序列
h
i
{\displaystyle h^{i}}
(i 是整数),及自然变换d : h i (A ) → h i +1 (X ,A ) ,称作边界同态 (其中
h
i
(
A
)
{\displaystyle h^{i}(A)}
表示
h
i
(
A
,
∅
)
{\displaystyle h^{i}(A,\ \emptyset )}
。公理如下:
同伦 :同伦映射在上同调诱导相同的同态。
正合性 :由结论f : A → X 、g : (X ,∅) → (X ,A ) ,每对(X ,A )都在上同调上诱导了长正合序列:
⋯
→
h
i
(
X
,
A
)
→
g
∗
h
i
(
X
)
→
f
∗
h
i
(
A
)
→
d
h
i
+
1
(
X
,
A
)
→
⋯
.
{\displaystyle \cdots \to h^{i}(X,A){\overset {g_{*}}{\to }}h^{i}(X){\overset {f_{*}}{\to }}h^{i}(A){\overset {d}{\to }}h^{i+1}(X,A)\to \cdots .}
切除 :若X 是子复形A 、B 的并,则对每个i ,包含
f
:
(
A
,
A
∩
B
)
→
(
X
,
B
)
{\displaystyle f:\ (A,\ A\cap B)\to (X,\ B)}
会诱导同构
h
i
(
X
,
B
)
→
f
∗
h
i
(
A
,
A
∩
B
)
{\displaystyle h^{i}(X,B){\overset {f_{*}}{\to }}h^{i}(A,A\cap B)}
可加性 :若(X ,A )是一组对
(
X
α
,
A
α
)
{\displaystyle (X_{\alpha },\ A_{\alpha })}
的不交并,则对每个i ,包含
(
X
α
,
A
α
)
→
(
X
,
A
)
{\displaystyle (X_{\alpha },\ A_{\alpha })\to (X,\ A)}
会诱导到达积群的同构:
h
i
(
X
,
A
)
→
∏
α
h
i
(
X
α
,
A
α
)
{\displaystyle h^{i}(X,A)\to \prod _{\alpha }h^{i}(X_{\alpha },A_{\alpha })}
谱 决定了广义(上)同调论。Brown、Whitehead、Adams得到的一个基本结果是:所有广义同调论都来自一个谱,所有广义上同调论也来自一个谱。这推广了艾伦伯格–麦克兰恩空间对普通上同调的可表性。
一个微妙问题是,从稳定同调范畴(谱的同伦范畴)到CW-拓扑对上的广义同调论的函子,虽然给出了同构类上的双射,但是不等价;在稳定同伦范畴中,有非零映射(即幻影映射 ),其诱导了CW-拓扑对上同伦论间的零映射。同样,从稳定同伦范畴到XW-拓扑对上的广义上同调论的函子也不等价。[ 13] 正是稳定同伦范畴具有三角化 之类良好性质。
要将(上)同调论的定义域从CW复形推广到任意拓扑空间,一种标准方法是加入公理:所有弱同伦等价 都会在(上)同调诱导一个同构(对奇异(上)同调是正确的,但层上同调等则不然)。由于每个空间都可从CW复形得到弱同伦等价,这公理将所有空间的(上)同调论还原为CW复形的相应理论。
广义上同调论的一些例子:
稳定上同伦群
π
S
∗
(
X
)
.
{\displaystyle \pi _{S}^{*}(X).}
相应的同调论更常用:稳定同伦群
π
∗
S
(
X
)
.
{\displaystyle \pi _{*}^{S}(X).}
各种配边 群,从空间到流形的所有映射的角度研究空间:无向配边
M
O
∗
(
X
)
{\displaystyle MO^{*}(X)}
有向配边
M
S
O
∗
(
X
)
,
{\displaystyle MSO^{*}(X),}
复配边
M
U
∗
(
X
)
,
{\displaystyle MU^{*}(X),}
等等。复配边在同伦论中尤为强大,经由丹尼尔·奎伦 的定理,同形式群 密切相关。
拓扑K理论 的各种形式,从空间上所有向量丛的角度研究空间:
K
O
∗
(
X
)
{\displaystyle KO^{*}(X)}
(实周期K理论)、
k
o
∗
(
X
)
{\displaystyle ko^{*}(X)}
(实连通K理论)、
K
∗
(
X
)
{\displaystyle K^{*}(X)}
(复周期K理论)、
k
u
∗
(
X
)
{\displaystyle ku^{*}(X)}
(复连通K理论),等等。
布朗-彼得森上同调 、莫拉瓦K理论 、莫拉瓦E理论等等由复配边建立的理论。
各种椭圆上同调 。
其中许多理论比普通上同调的信息更丰富,但更难计算。
上同调论E 若满足
E
∗
(
X
)
{\displaystyle E^{*}(X)}
对每个空间X 都具有分次环的结构,则称E 具有乘性 。用谱的语言来说,有几个更精确的环谱 概念,如E ∞ 环谱,其中的积在很强的意义上是交换、结合的。
另见
脚注
参考文献
Dieudonné, Jean , History of Algebraic and Differential Topology , Birkhäuser , 1989, ISBN 0-8176-3388-X , MR 0995842
Dold, Albrecht , Lectures on Algebraic Topology, Springer-Verlag , 1972, ISBN 978-3-540-58660-9 , MR 0415602
Eilenberg, Samuel ; Steenrod, Norman , Foundations of Algebraic Topology, Princeton University Press , 1952, ISBN 9780691627236 , MR 0050886
Hartshorne, Robin , Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics 52 , New York, Heidelberg: Springer-Verlag , 1977, ISBN 0-387-90244-9 , MR 0463157
Hatcher, Allen , Algebraic Topology , Cambridge University Press , 2001, ISBN 0-521-79540-0 , MR 1867354 (页面存档备份 ,存于互联网档案馆 )
Hazewinkel, Michiel (编), Cohomology , 数学百科全书 , Springer , 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .
May, J. Peter , A Concise Course in Algebraic Topology (PDF) , University of Chicago Press , 1999, ISBN 0-226-51182-0 , MR 1702278 互联网档案馆 的存档 ,存档日期,.
Switzer, Robert, Algebraic Topology — Homology and Homotopy, Springer-Verlag , 1975, ISBN 3-540-42750-3 , MR 0385836
Thom, René , Quelques propriétés globales des variétés différentiables , Commentarii Mathematici Helvetici , 1954, 28 : 17–86, MR 0061823 , S2CID 120243638 , doi:10.1007/BF02566923 [失效链接 ]