双三斜十二面体

六阶五边形二十四面体
类别	抽象正多面体（英语：Abstract_polytope）
对偶多面体	五阶六边形二十面体
数学表示法
施莱夫利符号	{5,6}4
性质
面	24
边	60
顶点	20
欧拉特征数	F=24, E=60, V=20 （χ=-16）
亏格	9
组成与布局
面的种类	五边形
对称性
对称群	S5， 120元素
	查; 论; 编;

双三斜十二面体
类别	均匀星形多面体
对偶多面体	内侧三角六边形二十面体
识别
名称	双三斜十二面体
参考索引	U41, C53, W80
鲍尔斯缩写; （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	ditdid
数学表示法
威佐夫符号; （英语：Wythoff symbol）	3 \| 5/3 5; 3/2 \| 5 5/2; 3/2 \| 5/3 5/4; 3 \| 5/2 5/4
性质
面	24
边	60
顶点	20
欧拉特征数	F=24, E=60, V=20 （χ=-16）
组成与布局
面的种类	12个正五边形{5}; 12个五角星{5/2}
面的布局; （英语：Face configuration）	12{5}+12{5/2}
顶点图	(5.5/3)3
对称性
对称群	Ih, [5,3], *532
图像
	; (5.5/3)3; （顶点图）
	; 内侧三角六边形二十面体; （对偶多面体）
	查; 论; 编;

在几何学中，双三斜十二面体^[1]是非凸均匀多面体中的一种星形多面体，其索引编号为U₄₁。温尼尔在他的书《多面体模型》中列出许多星形多面体模型，其中也收录了此种形状，并给予编号W₈₀^[2]。其可以视为小双三斜三十二面体经过刻面（英语：faceting）后的多面体^[3]。

双三斜十二面体的对偶多面体是一种星形二十面体，是由凹六边形组成的内侧三角六边形二十面体。

性质

双三斜十二面体共有24个面、60条边和20个顶点^[4]^[5]。

面的组成

双三斜十二面体由24个面组成，其24个面中，有12个五边形和12个五角星，每个面都是3个五边形和3个五角星的公共顶点。

顶点座标

边长为单位长，且几何中心位于原点的双三斜十二面体的顶点座标为^[6]^[7]：

(0,\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}},\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}})

、

(\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}},0,\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}})

、

(\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}},\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}},0)

、

(\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}})

。

二面角

双三斜十二面体的二面角为五平方根倒数的反馀弦值^[8]：

\cos ^{-1}({\frac {\sqrt {5}}{5}})\approx 1.1071\approx 63.4349^{\circ }

对偶多面体

双三斜十二面体的对偶多面体是内侧三角六边形二十面体，是一个具有20个面、60条边和24个顶点，由20个全等的凹六边形构成的星形多面体。

相关多面体

由于双三斜十二面体的凸包是正十二面体，且也无任何顶点位于其凸包内部，因此会与其他凸包为正十二面体、无顶点位于其凸包内部的多面体有相同的顶点排布，例如小双三斜三十二面体和大双三斜三十二面体。另外，其棱排布也与小双三斜三十二面体、大双三斜三十二面体和五复合立方体相同。其中，双三斜三十二面体相同的原因是因为拥有共同的五角星面、大双三斜三十二面体亦相同的原因是因为拥有拥有共同的五边形面。

a{5,3}	a{5/2,3}	b{5,5/2}
=	=	=
小双三斜三十二面体	大双三斜三十二面体	双三斜十二面体
正十二面体 (凸包)	五复合立方体

此外，其可以视为正十二面体刻面（英语：faceting）后的多面体：将五边形面改成位在正十二面体内部可能的五边形内，其馀以五角星面填满剩下的部分形成封闭的多面体。

对偶多面体

双三斜十二面体的对偶多面体为内侧三角六边形二十面体，是一种星形二十面体。但由于其与《五十九种二十面体》中收录的大三角六边形二十面体有些许不同，因此被描述为“遗失的星形二十面体”^[9]^[10]。

拓朴正多面体

由于双三斜十二面体的五角星形面可经由拓朴变形变为五边形面，因此，这种形状在拓朴中相当于六阶五边形镶嵌的商空间。

因此在另外一个索引中也被看作是一种抽象（英语：Abstract_polytope）的正多面体^[11]。

双三斜十二面体在拓朴学上由24个五边形组成，且每个顶点都是6个五边形的公共顶点，因此在拓朴学上满足抽象正多面体的定义。^[11]^[12]^[13]然而这种抽象面体若是具象化为双三斜十二面体则仅能具象化一半的对称性。这种抽象正多面体可以对应到亏格为9的六阶五边形正则地区图（施莱夫利符号：{5,6}₄）^[14]，对应的皮特里多边形为四边形^[14]。

其他四种抽象正多面体（英语：Abstract_polytope）为：

多面体	内侧菱形三十面体	截半大十二面体	内侧三角六边形二十面体	双三斜十二面体	凹五角锥十二面体
种类	{4,5}₆	{5,4}₆	{6,5}₄	{5,6}₄	{6,6}₆
顶点图	{5}, {5/2}	(5.5/2)²	{5}, {5/2}	(5.5/3)³
面	30个菱形	12个五边形 12个五角星	20个六边形	12个五边形 12个五角星	20个六边形
镶嵌	{4, 5}	{5, 4}	{6, 5}	{5, 6}	{6, 6}
χ	−6	−6	−16	−16	−20

对偶复合体

双三斜十二面体与其对偶的复合体为复合双三斜十二面体内侧三角六边形二十面体。其共有44个面、120条边和44个顶点，其尤拉示性数为-32，亏格为17，有32个非凸面，在威佐夫记号中以(3 5/3 | 5)表示^[15]。

参见

大双三斜三十二面体

参考文献

^ Polyhedra 多面體: 41) 雙三斜十二面體 (Ditrigonal Dodecadodecahedron). 元朗商会中学. （原始内容存档于2016-09-01）.
^ Wenninger, Magnus（英语：Magnus J. Wenninger）. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9.
^ Weisstein, Eric W. (编). Ditrigonal Dodecadodecahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
^ ditrigonal dodecadodecahedron. bulatov.org. （原始内容存档于2016-03-26）.
^ Uniform Polyhedra 41: ditrigonal dodecadodecahedron. mathconsult. （原始内容存档于2015-12-17）.
^ Jean Paul Albert Badoureau, Mémoire sur les Figures Isocèles, Journal de l'École polytechnique 49 (1881), 47-172.
^ Data of Ditrigonal Dodecadodecahedron. dmccooey.com. （原始内容存档于2016-09-01）.
^ Versi-Regular Polyhedra: Ditrigonal Dodecadodecahedron. dmccooey.com. （原始内容存档于2016-03-24）.
^ Guy's polyhedra pages. Some lost stellations of the icosahedron. steelpillow. 2006-07-11. （原始内容存档于2016-03-13）. Index Number: 303, Precursor: BnGn, Du Val symbol: De₂f₂
^ G. Inchbald, In search of the lost icosahedra, Math. Gaz. 86 (July 2002) pp. 208-215.
^ ^11.0 ^11.1 David A. Richter. The Regular Polyhedra (of index two). 西密西根大学. （原始内容存档于2016-03-04）.
^ Regular Polyhedra of Index Two, I （页面存档备份，存于互联网档案馆） Anthony M. Cutler, Egon Schulte, 2010
^ Regular Polyhedra of Index Two, II （页面存档备份，存于互联网档案馆） Beitrage zur Algebra und Geometrie 52(2):357–387 · November 2010, Table 3, p.27
^ ^14.0 ^14.1 R9.16. Regular Map database - map details, weddslist.com. [2021-10-16]. （原始内容存档于2021-10-16）.
^ compound of ditrigonal dodecadodecahedron and medial triambic icosahedron. bulatov.org. （原始内容存档于2015-09-06）.

外部链接

埃里克·韦斯坦因. 雙三斜十二面體. MathWorld.

[3] Polyhedra 多面體: 41) 雙三斜十二面體 (Ditrigonal Dodecadodecahedron). 元朗商会中学. （原始内容存档于2016-09-01）.

[4] Wenninger, Magnus（英语：Magnus J. Wenninger）. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9.

[5] Weisstein, Eric W. (编). Ditrigonal Dodecadodecahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.

[6] trigonal dodecadodecahedron. bulatov.org. （原始内容存档于2016-03-26）.

[7] Uniform Polyhedra 41: ditrigonal dodecadodecahedron. mathconsult. （原始内容存档于2015-12-17）.

[8] Jean Paul Albert Badoureau, Mémoire sur les Figures Isocèles, Journal de l'École polytechnique 49 (1881), 47-172.

[dmccooeydata-9] Data of Ditrigonal Dodecadodecahedron. dmccooey.com. （原始内容存档于2016-09-01）.

[10] Versi-Regular Polyhedra: Ditrigonal Dodecadodecahedron. dmccooey.com. （原始内容存档于2016-03-24）.

[11] Guy's polyhedra pages. Some lost stellations of the icosahedron. steelpillow. 2006-07-11. （原始内容存档于2016-03-13）. Index Number: 303, Precursor: BnGn, Du Val symbol: De₂f₂

[12] G. Inchbald, In search of the lost icosahedra, Math. Gaz. 86 (July 2002) pp. 208-215.

[David_A._Richter-15] 11.0 ^11.1 David A. Richter. The Regular Polyhedra (of index two). 西密西根大学. （原始内容存档于2016-03-04）.

[16] Regular Polyhedra of Index Two, I （页面存档备份，存于互联网档案馆） Anthony M. Cutler, Egon Schulte, 2010

[17] Regular Polyhedra of Index Two, II （页面存档备份，存于互联网档案馆） Beitrage zur Algebra und Geometrie 52(2):357–387 · November 2010, Table 3, p.27

[Regular_Map_R9.16-18] 14.0 ^14.1 R9.16. Regular Map database - map details, weddslist.com. [2021-10-16]. （原始内容存档于2021-10-16）.

[19] und of ditrigonal dodecadodecahedron and medial triambic icosahedron. bulatov.org. （原始内容存档于2015-09-06）.

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查论编均匀多面体
四面体群对称	正四面体截角四面体四面半六面体
八面体群对称	立方体正八面体截角立方体截角八面体截半立方体小斜方截半立方体大斜方截半立方体扭棱立方体八面半八面体立方半八面体小斜方立方体小立方立方八面体非凸大斜方截半立方体星形截角立方体大斜方立方体大立方截半立方体立方截角立方八面体星形截角截半立方体
二十面体群对称	正十二面体正二十面体小星形十二面体大十二面体大星形十二面体大二十面体截角十二面体截半二十面体截角二十面体小斜方截半二十面体大斜方截半二十面体扭棱十二面体大双三斜三十二面体小十二面半十二面体大十二面半十二面体小十二面半二十面体大十二面半二十面体小二十面半十二面体大二十面半十二面体小十二面二十面体大十二面二十面体斜方二十面体小斜方十二面体大斜方十二面体小十二面截半二十面体大十二面截半二十面体小双三角十二面截半二十面体大双三角十二面截半二十面体小二十面化截半二十面体大二十面化截半二十面体双三斜十二面体小双三斜三十二面体大截半二十面体截角大十二面体截半大十二面体小星形截角十二面体大星形截角十二面体截角大二十面体斜方截半大十二面体非凸大斜方截半二十面体二十面截角十二面十二面体二十面化截半大十二面体截角截半大十二面体大截角截半二十面体大二重斜方截半二十面体大二重扭棱二重斜方十二面体完全扭棱二十面体小反屈扭棱二十面截半二十面体大反屈扭棱截半二十面体扭棱小星形十二面体反扭棱小星形十二面体扭棱大星形十二面体反扭棱大星形十二面体大扭棱十二面截半二十面体扭棱二十面化截半大十二面体
其他	柱状均匀多面体星形均匀多面体