赋值

在代数中，赋值是一个度量域元素的阶（多少）或元素重复度的函数。推广到交换代数，就是对复分析中极点，零点重复度度量，推广到代数数论中的代数整数整性的度量，在代数几何中也有类似概念，一个域与它的赋值被称为赋值域。

定义

一个域 $K$ 上取值在有序交换群Γ的赋值是从 $K^{*}$ 到Γ的映射 $v$ ，满足下述性质：

$v(xy)=v(x)+v(y)$ （即： $v$ 是群同态）
$x+y\neq 0\Rightarrow v(x+y)\geq \mathrm {min} (v(x),v(y))$

Γ称作 $v$ 的值群。

两个赋值 $v_{i}:K^{*}\rightarrow \Gamma _{i}\;(i=1,2)$ 被称作等价的，若且唯若存在有序交换群的同构 $\phi :\Gamma _{1}\rightarrow \Gamma _{2}$ 使得 $v_{2}=\phi \circ v_{1}$ 。

为了操作上的便利，我们通常会将 $v$ 的值域扩至 $\Gamma \cup \{\infty \}$ ，并设 $v(0)=\infty$ 。

p进赋值

设p为正质数。对于所有非零的有理数，存在一且唯一一个整数 $n$ 使得 $x={\frac {u}{v}}p^{n}$ ，其中 $u,v$ 均非 $p$ 的倍数。p进赋值就是函数 $v_{p}:x\to n$ 。它给出一个p进绝对值 $\vert \cdot \vert _{p}:\,\mathbb {Q} \to \mathbb {R}$ ，定义为

$\vert x\vert _{p}={\begin{cases}0\\p^{-v_{p}(x)}\\\end{cases}}$	若 $x=0$
	若 $x\neq 0$

p进赋值是个非阿基米得赋值。其值群是 $\mathbb {Z}$ 。

例子

令 $X$ 为紧黎曼曲面， $\mathbb {C} (X)$ 为其上的亚纯函数域。固定一点 $x\in X$ 。定义 $v_{x}(f)$ 为 $f$ 在 $x$ 的重根数，便得到 $\mathbb {C} (X)$ 上的赋值，其值群为 $\mathbb {Z}$ 。对于高维情形则须考虑其因子，但此时需考虑点的拉开，状况较复杂。扎里斯基正是为了研究代数曲面而开始研究赋值论。
上述构造亦可套用到定义在任意域上的代数曲线。
利用函数域与数域的类比，可在 $\mathbb {Q}$ 上考虑p进赋值。根据奥斯特洛夫斯基定理， $\mathbb {Q}$ 上的任意赋值皆等价于某个p进赋值。

参见

参考文献

Nicolas Bourbaki, Algèbre commutative, Chapitre 5, 6: entiers ; valuations (1964), Eléments de mathématique, P. A. Hermann.
Jacobson, Nathan, Valuations: paragraph 6 of chapter 9, Basic algebra II 2^nd, New York: W. H. Freeman and Company, 1989 [1980], ISBN 0-7167-1933-9, Zbl 0694.16001 . A masterpiece on algebra written by one of the leading contributors.
Chapter VI of Zariski, Oscar; Samuel, Pierre, Commutative algebra, Volume II, Graduate Texts in Mathematics 29, New York, Heidelberg: Springer-Verlag, 1976 [1960], ISBN 978-0-387-90171-8

扩展阅读

Danilov, V.I., Valuation, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
Discrete valuation at PlanetMath.
Valuation at PlanetMath.
埃里克·韦斯坦因. Valuation. MathWorld.