人们经常使用
22
7
{\displaystyle {\frac {22}{7}}}
有理数 作为圆周率
π
{\displaystyle \pi }
丢番图逼近 。在
π
{\displaystyle \pi }
连分数 表达中，
22
7
{\displaystyle {\frac {22}{7}}}
渐近 分数。从这两个数字的小数形式可见
22
7
{\displaystyle {\frac {22}{7}}}
π
{\displaystyle \pi }
22
7
≈
3.142857
…
{\displaystyle {\frac {22}{7}}\approx 3.142857\dots \,}
π
≈
3.141592
…
{\displaystyle \pi \approx 3.141592\dots \,}
这个近似值从古代就有人使用。纵使阿基米德 并非这个近似值的始创者，但他证明了
22
7
{\displaystyle {22 \over 7}}
22
7
{\displaystyle {22 \over 7}}
正96边形 的周界：该圆直径 之比作证明。
这个近似值常被称为“约率 [ 1] 祖冲之 在5世纪提出的密率
355
113
{\displaystyle {355 \over 113}}
以下是另一个
22
7
>
π
{\displaystyle {\frac {22}{7}}>\pi }
22
7
>
π
{\displaystyle {\frac {22}{7}}>\pi }
[ 2] 丢番图逼近 的关连。路卡斯称这条公式为“其中一个估计π值的最美丽结果”[ 3] [ 4]
0
<
∫
0
1
x
4
(
1
−
x
)
4
1
+
x
2
d
x
=
22
7
−
π
{\displaystyle 0<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}\,dx={\frac {22}{7}}-\pi }
故此
22
7
>
π
{\displaystyle {\frac {22}{7}}>\pi }
被积函数是一个分数，其分子和分母皆是非负函数，所以该积分 是正数。由于被积函数是正数，由0至1的定积分也大于0。
以下就证明该积分实际上与
22
7
{\displaystyle {22 \over 7}}
0
{\displaystyle 0\,}
<
∫
0
1
x
4
(
1
−
x
)
4
1
+
x
2
d
x
{\displaystyle <\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}\,dx}
=
∫
0
1
x
4
−
4
x
5
+
6
x
6
−
4
x
7
+
x
8
1
+
x
2
d
x
{\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}-4x^{5}+6x^{6}-4x^{7}+x^{8}}{1+x^{2}}}\,dx}
展开分子的数项
=
∫
0
1
(
x
6
−
4
x
5
+
5
x
4
−
4
x
2
+
4
−
4
1
+
x
2
)
d
x
{\displaystyle =\int _{0}^{1}\left(x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-4x^{2}+4-{\frac {4}{1+x^{2}}}\right)\,dx}
多项式长除法
=
[
x
7
7
−
2
x
6
3
+
x
5
−
4
x
3
3
+
4
x
−
4
arctan
x
]
0
1
{\displaystyle =\left[{\frac {x^{7}}{7}}-{\frac {2x^{6}}{3}}+x^{5}-{\frac {4x^{3}}{3}}+4x-4\arctan {x}\,\right]_{0}^{1}}
定积分 （微积分基本定理 ）
=
1
7
−
2
3
+
1
−
4
3
+
4
−
π
{\displaystyle ={\frac {1}{7}}-{\frac {2}{3}}+1-{\frac {4}{3}}+4-\pi \ }
把结果代入1和0，然后相减。注意：
arctan
1
=
π
4
{\displaystyle \arctan 1={\frac {\pi }{4}}}
=
22
7
−
π
.
{\displaystyle ={\frac {22}{7}}-\pi .}
加数
求取这积分的值是1968年威廉·罗威尔·普特南数学竞赛 的第一个题目[ 5]
A-1. 证明
22
7
−
π
=
∫
0
1
x
4
(
1
−
x
)
4
1
+
x
2
d
x
{\displaystyle {\frac {22}{7}}-\pi =\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}\,dx}
达赛尔（1944）指出，只要把1代入分母中的
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
[ 6]
1
1260
<
∫
0
1
x
4
(
1
−
x
)
4
1
+
x
2
d
x
<
1
630
.
{\displaystyle {1 \over 1260}<\int _{0}^{1}{x^{4}(1-x)^{4} \over 1+x^{2}}\,dx<{1 \over 630}.}
结果得出
22
7
−
1
630
<
π
<
22
7
−
1
1260
.
{\displaystyle {22 \over 7}-{1 \over 630}<\pi <{22 \over 7}-{1 \over 1260}.}
也许这是计算
π
{\displaystyle \pi }
[ 7]
^ 韩雪涛. 数学科普：常识性谬误流传令人忧 . 中华读书报. 2001年8月29日 [2006年10月6日] . （原始内容 存档于2007年9月29日）. ^ 比较爱德华·梅特兰·赖特 和高德菲·哈罗德·哈代 ，第22章中的质数定理的基本证明ISBN 978-0-19-853171-5
^ Lucas, Stephen. "Integral proofs that 355/113 > π", Australian Mathematical Society Gazette ，32 册，4号，263–266页
^ Havil, Julian. Gamma: Exploring Euler's Constant . Princeton University Press. 2003: 96页. ISBN 978-0-691-09983-5 . ^ edited by Gerald L. Alexanderson, Leonard F. Klosinski, Loren C. Larson (编). The Twenty-Ninth William Lowell Putnam Mathematical Competition: December 7, 1968. The William Lowell Putnam Mathematical Competition problems and solutions: 1965-1984. Washington, DC: The Mathematical Association of America. 1985: p. 9. ISBN 978-0-88385-441-9 . ^ Dalzell, D. P. (1944). "On 22/7", Journal of the London Mathematical Society 19, 133–134页
^ Dalzell, D. P. (1971). "On 22/7 and 355/113", Eureka; the Archimedeans' Journal , 34 册, pages 10–13页.
![{\displaystyle =\left[{\frac {x^{7}}{7}}-{\frac {2x^{6}}{3}}+x^{5}-{\frac {4x^{3}}{3}}+4x-4\arctan {x}\,\right]_{0}^{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51b2982dc68236c790192e57114c802b9431b421)
