立方和

立方和的简单图解

立方和是数学公式的一种，它属于因式分解、乘法公式及恒等式，被普遍使用。立方和是指一个立方数，加上另一个立方数，即是它们的总和。公式如下：

$a^{3}\pm b^{3}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})=(a\pm b)^{3}\mp 3ab(a\pm b)$

立方和被因式分解后，答案分别包含二项式及三项式，与立方差相同。

验证

主验证

验证此公式，可透过因式分解，首先设以下公式：

$a^{2}b-a^{2}b+ab^{2}-ab^{2}=0\,\!$

然后代入：

$a^{3}+b^{3}=a^{3}-a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b-ab^{2}+b^{3}\,\!$

透过因式分解，可得：

$a^{3}+b^{3}=a(a^{2}-ab+b^{2})+b(a^{2}-ab+b^{2})\,\!$

$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!$

这样便可验证：$a^{3}+b^{3}\equiv (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$

和立方验证

透过和立方可验证立方和的原理：

$(x+y)^{3}\,\!$

$=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\,\!$

那即是只要减去$3x^{2}y$及$3xy^{2}$便可得到立方和，可设：

$x^{3}+y^{3}=(x+y)^{3}-3x^{2}y-3xy^{2}\,\!$

右边的方程 $=(x+y)^{3}-3x^{2}y-3xy^{2}\,\!$

运用因式分解的方法：

$=(x+y)^{3}-3xy(x+y)\,\!$

$=(x+y)\left[(x+y)^{2}-3xy\right]\,\!$

$=(x+y)(x^{2}+2xy+y^{2}-3xy)\,\!$

$=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\,\!$

这样便可验证出：$x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\,\!$

几何验证

图象化$a^{3}+b^{3}$

透过绘立体的图像，也可验证立方和。 根据右图，设两个立方，总和为：

$x^{3}+y^{3}\,\!$

把两个立方体对角贴在一起，根据虚线，可间接得到：

$(x+y)^{3}\,\!$

要得到$x^{3}+y^{3}$，可使用$(x+y)^{3}$的空白位置。该空白位置可分割为3个部分：

• $x\times y\times (x+y)$
• $x\times (x+y)\times y$
• $(x+y)\times y\times x$

把三个部分加在一起，便得：

$=xy(x+y)+xy(x+y)+xy(x+y)\,\!$

$=3xy(x+y)\,\!$

之后，把$(x+y)^{3}$减去它，便得： $=(x+y)^{3}-3xy(x+y)\,\!$ 上公式发现两个数项皆有一个公因子，把它抽出，并得：

$=(x+y)\left[(x+y)^{2}-3xy\right]\,\!$

$(x+y)^{2}$可透过和平方公式，得到：

$=(x+y)(x^{2}+2xy+y^{2}-3xy)\,\!$

$=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\,\!$

这样便可证明$x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\,\!$

反验证

透过$(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$也可反验证立方和。

$(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!$

$=a(a^{2}-ab+b^{2})+b(a^{2}-ab+b^{2})\,\!$

$=a^{3}-a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b-ab^{2}+b^{3}\,\!$

$=a^{3}+b^{3}\,\!$

以上计算方法亦可简化为一个表格：

$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$

x)	$+a^{2}$	$-ab$	$+b^{2}$
$+a$	$+a^{3}$	$-a^{2}b$	$+ab^{2}$
$+b$	$+a^{2}b$	$-ab^{2}$	$+b^{3}$

这样便可证明$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!$

立方差

立方差也可以使用立方和来验证，例如：

$125u^{3}-343v^{3}\,\!$

把两个数项都转为立方数：

$=(5u)^{3}-(7v)^{3}\,\!$

运用负正得负，可得：

$=(5u)^{3}+(-7v)^{3}\,\!$

然后运用立方和，可得：

$=\left[5u+(-7v)\right]\left[25u^{2}-(5u)(-7v)+(-7v)^{2}\right]$

$=(5u-7v)(25u^{2}+35uv+49v^{2})\,\!$

这个方法更可验证到立方差的公式是$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\,\!$

两组立方和的数

有些整数可以有两个立方和组合， 而最少的，已是过千的1729。它是两组不同的立方和：

$1729=1^{3}+12^{3}\,\!$

$1729=9^{3}+10^{3}\,\!$

下一个同样有两个立方和组合的整数是4104：

$4104=9^{3}+15^{3}\,\!$

$4104=2^{3}+16^{3}\,\!$

首十个两组立方和的数：1729、4104、13832、20683、32832、39312、40033、46683、64232、65728

参见

• 几何学
• 工程学