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秩 (微分拓扑)

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数学上,一个可微映射f : MN在一点p,是f导函数。映射f在点p的导数是一个线性映射

从点p切空间到点f(p)的切空间。因为是向量空间之间的线性映射,故其秩有明确定义,即是Tf(p)N维数

常秩映射

可微映射f : MN称为有常秩,落f的秩在M中每一点p都相同。常秩映射有一些很好的性质,是微分拓扑中的重要概念。

有三类特别的常秩映射:一个常秩映射f : MN

以上的条件只牵涉到f的导函数的性质,不要求映射f是单射、满射或双射。例如有一些映射是单射却非浸入,或是浸入却非单射。不过若f : MN是常秩光滑映射,则

  • f是单射,则是浸入;
  • f是满射,则是浸没;
  • f是双射,则是微分同胚

常秩映射可以用局部座标系得出一个好的描述。设MN是光滑流形,维数分别为mn,映射f : MN是光滑映射,并有常秩k。那么对M中每一点p,都存在以p为中心的局部座标(x1, ..., xm),及以f(p)为中心的局部座标(y1, ..., yn),使得f用这些座标可以表示为:

参考