汉弥尔顿矩阵

在数学上，若一个2n阶矩阵A是一个汉弥尔顿矩阵，则对此矩阵而言，JA会是一个对称矩阵，而其中J这个矩阵具有以下的形式：

$J={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{bmatrix}}$

其中I_n是n阶矩阵单位矩阵。也就是说，若A是一个汉弥尔顿矩阵若且唯若(JA)^T = JA，在此处()^T表示矩阵的转置

性质

假设一个2n阶的矩阵A可写成如下形式的分块矩阵：

$A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$

其中a、b、c、d皆为n阶矩阵，则“A是汉弥尔顿矩阵”的这条件与“b和c这两个矩阵皆为对称矩阵，且a + d^T = 0”的这条件等价。另一个A是汉弥尔顿矩阵时的这条件等价的条件为“存在一个对称矩阵S，使得A = JS with S”

从转置的定义，可轻易地得知说一个汉弥尔顿矩阵的转置也是汉弥尔顿矩阵，两个汉弥尔顿矩阵的和也是弥尔顿矩阵，一个汉弥尔顿矩阵的交换子也是汉弥尔顿矩阵。由所有同阶的汉弥尔顿矩阵组成的空间形式一个李代数，记作sp(2n)，而sp(2n)的维度则为2n² + n。与这个李代数相对应的李群是Sp(2n)这个辛群。Sp(2n)这个群可将之视作由辛矩阵所构成的一个群，其中若一矩阵A为一辛矩阵，则它满足A^TJA = J这条件。因此，一个汉弥尔顿矩阵的指数是一个辛矩阵，而一个辛矩阵的对数是一个汉弥尔顿矩阵。

实汉弥尔顿矩阵的特征多项式是个偶函数，因此若λ是一个汉弥尔顿矩阵的特征向量，则−λ、λ^*和−λ^*也都会是该矩阵的特征向量。而这也说明了一个汉弥尔顿矩阵的迹会是零。

一个汉弥尔顿矩阵的平方是一个斜汉弥尔顿矩阵（skew-Hamiltonian matrix。若一个矩阵A满足(JA)^T = −JA这条件，则它是一个斜汉弥尔顿矩阵）；另一方面，每个斜汉弥尔顿矩阵都是一个弥尔顿矩阵的平方。

在复矩阵上的推广

汉弥尔顿的定义可用两种方式推广到复矩阵上。一种方法是如上所述般定义说若一矩阵A满足(JA)^T = JA这条件，则该矩阵是一个汉弥尔顿矩阵；另一个方式是利用(JA)^* = JA这条件，其中()^*表示矩阵的共轭转置。

汉弥尔顿算子

设V为一个向量空间，在其上有著辛形式Ω。那么当“$x,y\mapsto \Omega (A(x),y)$是对称的”这条件满足时，就称线性变换$A:\;V\mapsto V$是一个对Ω的汉弥尔顿算子（Hamiltonian operator），也就是说它当满足下式：

$\Omega (A(x),y)=-\Omega (x,A(y))$

若选择一个基e₁, …, e_2n in V，使得Ω可写成$\sum _{i}e_{i}\wedge e_{n+i}$这样的形式，则一个对Ω线性算子是汉弥尔顿算子，当且仅当在这个基中与此算子对应的矩阵是汉弥尔顿矩阵。