在數學中,扭對稱矩阵是指一個的矩阵M(通常佈於實數或複數域上),使之滿足
- 。
其中表的轉置矩陣,而是一個固定的可逆斜對稱矩陣;這類矩陣在適當的變化後皆能表為
或
兩者的差異僅在於基的置換,其中是 單位矩陣。此外, 行列式值等於一,且其逆矩陣等於。
性質
凡扭對稱矩阵皆可逆,其逆矩陣可表為
其中,反對稱矩陣具有如下運算性質:
- ,
- ,
- ,
- 。
此外,扭對稱矩阵構成的集合在矩陣乘法下封閉,因此一個域上的所有階扭對稱矩阵構成一個群,記為。事實上它是的閉代數子群,其維度為。當時,帶有自然的(複)李群結構。
由定義可知扭對稱矩阵的行列式等於;事實上,可以利用普法夫值的公式:
- 。
由於、,遂導出。
當時,有。換言之:二階扭對稱矩陣即行列式等於一的二階矩陣。
扭對稱變換
在線性代數的抽象框架裡,我們可以用偶數維向量空間上的線性變換取代偶數階矩陣,並固定一個非退化反對稱雙線性形以取代矩陣(賦有這類雙線性形的空間稱為扭對稱向量空間),如此便得到與基底無關的定義:
- 定義。一個扭對稱向量空間上的線性變換若滿足
- 。
- 則稱為扭對稱變換。
考慮,由於,故;另一方面,,於是得到。由此導出扭對稱變換之行列式值等於一。
固定的一組基,藉此將寫成矩陣,並將表成斜對稱矩陣,便回到先前的定義:
- 。
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