抛物柱面坐标系的几个坐标曲面。红色抛物柱面的
σ
=
2
{\displaystyle \sigma =2}
τ
=
1
{\displaystyle \tau =1}
z
=
2
{\displaystyle z=2}
直角坐标 大约为
(
2
,
−
1.5
,
2
)
{\displaystyle (2,\ -1.5,\ 2)}
抛物线坐标系的
σ
{\displaystyle \sigma }
τ
{\displaystyle \tau }
抛物柱面坐标系 （英语：Parabolic cylindrical coordinates ）是一种三维正交坐标系 。往 z-轴方向延伸二维的抛物线坐标系 ，则可得到抛物柱面坐标系。其坐标曲面 是共焦的抛物柱面。抛物柱面坐标可以应用于许多物理问题。例如，物体边缘的位势论 。
直角坐标
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,\ y,\ z)}
(
σ
,
τ
,
z
)
{\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ z)}
x
=
σ
τ
{\displaystyle x=\sigma \tau }
y
=
1
2
(
τ
2
−
σ
2
)
{\displaystyle y={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)}
z
=
z
{\displaystyle z=z}
其中，
σ
≥
0
{\displaystyle \sigma \geq 0}
τ
≥
0
{\displaystyle \tau \geq 0}
坐标
σ
{\displaystyle \sigma }
凹性 往 +y-轴的抛物柱面 ：
2
y
=
x
2
σ
2
−
σ
2
{\displaystyle 2y={\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}}
而坐标
τ
{\displaystyle \tau }
凹性 往 -y-轴的抛物柱面 ：
2
y
=
−
x
2
τ
2
+
τ
2
{\displaystyle 2y=-{\frac {x^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}}
这些抛物柱面的焦线的位置都在 z-轴。
径向距
r
{\displaystyle r}
r
=
x
2
+
y
2
=
1
2
(
σ
2
+
τ
2
)
{\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\frac {1}{2}}\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)}
当解析经典力学 的反平方 连心力 问题时，假若采用抛物柱面坐标的哈密顿-亚可比方程式 ，则会用到这很有用的公式。参阅
拉普拉斯-龙格-冷次向量 [锚点失效 。
抛物柱面坐标
σ
{\displaystyle \sigma }
τ
{\displaystyle \tau }
z
{\displaystyle z}
h
σ
=
h
τ
=
σ
2
+
τ
2
{\displaystyle h_{\sigma }=h_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}
h
z
=
1
{\displaystyle h_{z}=1}
无穷小体积元素是
d
V
=
(
σ
2
+
τ
2
)
d
σ
d
τ
d
z
{\displaystyle dV=\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)d\sigma d\tau dz}
拉普拉斯算子 是
∇
2
Φ
=
1
σ
2
+
τ
2
(
∂
2
Φ
∂
σ
2
+
∂
2
Φ
∂
τ
2
)
+
∂
2
Φ
∂
z
2
{\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}}
其它微分算子，像
∇
⋅
F
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }
∇
×
F
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }
(
σ
,
τ
,
z
)
{\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ z)}
正交坐标系 条目内对应的一般公式。
抛物柱面坐标有一个经典的应用，这是在解析像拉普拉斯方程 或亥姆霍兹方程 这类的偏微分方程式 。在这些方程式里，抛物柱面坐标允许分离变数法 的使用。个典型的例题是，有一块半无限的平板导体 ，请问其周围的电场 为什么？应用抛物柱面坐标，我们可以精致地分析这例题。
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