截半截角二十面体

截半截角二十面体

（单击查看旋转模型）
类别	康威多面体 拟詹森多面体
对偶多面体	菱形九十面体
数学表示法
施莱夫利符号	rt{3,5}
康威表示法	atI
性质
面	92
边	180
顶点	90
欧拉特征数	F=92, E=180, V=90 （χ=2）
组成与布局
面的布局	60个{ }∨( ) 等腰三角 12个{5} 正五边形 20个{6} 正六边形
顶点图	3.6.3.6 3.5.3.6
对称性
对称群	Ih, [5,3], (*532) order 120
旋转对称群	I, [5,3]+, (532), order 60
特性
凸
图像
3.6.3.6 3.5.3.6 （顶点图） 菱形九十面体 （对偶多面体） （展开图）

截半截角二十面体（rectified truncated icosahedron）是一种凸多面体，属于环带多面体，其对偶多面体为菱形九十面体。有92个面，其中有12个正五边形、20个等边六边形和60个等腰三角形组成。在截半截角二十面体92个面中，只有12个正多边形。

截半截角二十面体是套用截半变换的截角二十面体，也就是由截角二十面体截去所有顶点并截到各边的中点所构成，虽然它看似半正多面体，但并不是，因为它只有五边形是正多边形，三角形和六边形皆非正多边形，由于该多面体由正多边形与非常接近正多边形的对称等边多边形组成，因此，此多面体又可以被归类为拟詹森多面体。

性质

截半截角二十面体有三种形式，一种是直接截半切去所有顶角至棱的中点所构成的由正五边形、等边六边形和等腰三角形组成的形式；另一种是在由正五边形、正六边形和等腰三角形组成的形式；还有一种是所有边都等长的等边形式。每种形式皆由92个面、180条边和90个顶点组成，且92个面中皆有12个等边五边形、20个等边六边形和60个等腰三角形，其中等边五边形、等边六边形在各形式中可能成为正多边形。每种形式的边长比、半径和体积皆不相同，但外观和展开图都十分相似。

各形式的顶点都可以分为两种，一种是2个三角形和2个六边形的公共顶点，且面在顶点周围依照三角形、六边形、三角形和六边形的顺序排列，在顶点图中，可以用3.6.3.6来表示；另一种是2个三角形和1个五边形和1个六边形的公共顶点，且面在顶点周围依照三角形、五边形、三角形和六边形的顺序排列，在顶点图中，可以用3.5.3.6来表示。

面的组成

在由正五边形、等边六边形和等腰三角形组成的截半截角二十面体形式中，等边六边形有两组角，分别为$\arccos {\frac {{\sqrt {3}}-{\sqrt {39}}}{8}}\approx 124.34^{\circ }$和$\arccos \left(-{\frac {\sqrt {3}}{4}}\right)\approx 115.66^{\circ }$；等腰三角形的底角为$\arccos {\frac {\sqrt {72-6{\sqrt {3}}-6{\sqrt {15}}}}{12}}\approx 58.92^{\circ }$，顶角为$\arccos {\frac {{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}}{12}}\approx 62.15^{\circ }$，其中$\arccos$为反馀弦函数。

在由正五边形、正六边形和等腰三角形组成的截半截角二十面体形式中，有两种边长，正五边形的边长较短，对应等腰三角形的底边、正六边形的边长较长，对应等腰三角形的腰。若较短的边长为单位长，则较长的边为${\frac {{\sqrt {15}}-{\sqrt {3}}}{2}}\approx 1.070466$。

体积

等边的截半截角二十面体形式，若其边长为单位长，则其体积为：

${\frac {180+33{\sqrt {5}}+5{\sqrt {983+978{\sqrt {5}}}}}{6}}\approx 89.2164$

在由正五边形、正六边形和等腰三角形组成的截半截角二十面体形式中，若短边长为单位长，则其体积为：

$73{\sqrt {5}}-60\approx 103.23296$

在由正五边形、等边六边形和等腰三角形组成的截半截角二十面体形式中，若其中分球半径为1，则其体积为一个八次方成之根的平方根，约为4.0095940519753525228。

图像

下图为截半截角二十面体的旋转动画：

下图为截半截角二十面体的透视图：

下图为截半截角二十面体的另一种上色方式：

相关多面体

名称	截角 二十面体	二次截角 二十面体	截半 截角二十面体	小斜方截半 截角二十面体	大斜方截半 截角二十面体	扭棱 截角二十面体
考特	tI	ttI	rtI	rrtI	trtI	srtI
康威			atI	etI	btI	stI
图像
康威表示法	dtI = kD	kdtI	jtI	otI	mtI	gtI
对偶多面体

参见

• 截半截角四面体
• 截半截角八面体
• 截半截角立方体
• 截半截角十二面体

延伸阅读

• Coxeter Regular Polytopes, Third edition, (1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8 (pp. 145–154 Chapter 8: Truncation)
• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5

外部链接

• George Hart's Conway interpreter （页面存档备份，存于互联网档案馆）: generates polyhedra in VRML, taking Conway notation as input