多面形

多面形

以六面形为例
类别	正多面体 球面镶嵌
对偶多面体	多边形二面体
数学表示法
考克斯特符号
施莱夫利符号	{2,n}
威佐夫符号	n | 2 2
性质
面	$n$
边	$n$
顶点	$2$
欧拉特征数	F=$n$, E=$n$, V=$2$ （χ=2）
组成与布局
面的种类	n个二角形
顶点图	2n
顶点布局	2n
对称性
对称群	Dnh, [2,n], (*22n), order 4n
旋转对称群	Dn, [2,n]+, (22n), order 2n
图像
多边形二面体 （对偶多面体）
注：$n$为底面边数 。

在几何学中，多面形（英语：Hosohedron）是一种由月牙形或球弓形组成的球面镶嵌，并且使得每一个月牙形或球弓形共用相同的两个顶点。其在施莱夫利符号中用 {2, n} 表示n面形。

其亦可以视为由球面正二角形组成的球面镶嵌图，又称为二角形镶嵌或二边形镶嵌。

正多面形

在施莱夫利符号中以{m, n}表示的正多面体，其面的个数存在下列等式：

$N_{2}={\frac {4n}{2m+2n-mn}}$

自古以来大家所熟知的正多面体——柏拉图立体是当m≥3且n≥3的整数解，限制在m≥3的状态下，多边形面必须至少有三条边。

当考虑多面体为球面镶嵌时，该限制可以放宽，因为二角形（二边形）可以以球弓形或月牙形存在，即球面二角形具有非零面积。当m=2时则会产生一个新的无穷集合，即多面形。在球面上，所述多面体{2, n}表示当n个球弓形组合，并且具有2π/n内角。所有二角形阶共用相同的两个顶点，即每个顶点皆为所有二角形的公共顶点。

每个正多面形都是n阶二边形镶嵌。

一个正三面形，{2,3}，以三个月牙形镶嵌于求面表示。又称三阶二边形镶嵌。

一个正四面形，以四个月牙形镶嵌于求面表示。又称四阶二边形镶嵌。

正多面形系列

球面镶嵌													欧式镶嵌 仿紧空间	双曲镶嵌 非紧空间
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	...	∞	iπ/λ
一面形	二面形	三面形	四面形	五面形	六面形	七面形	八面形	九面形	十面形	十一面形	十二面形		无限面形	超无限面形
{2,1}	{2,2}	{2,3}	{2,4}	{2,5}	{2,6}	{2,7}	{2,8}	{2,9}	{2,10}	{2,11}	{2,12}		{2,∞}	{2,iπ/λ}

命名

英文Hosohedron一词由考克斯特命名，其来自希腊语ὅσος (osos/hosos)，是‘尽可能多’的意思，其意思为‘尽可能达到很多的面的形状’因此称为多面形。

多维面形

多维面形是多面形在高维度的类比，表示有多个维面的几何图形。任何正的维面形都可以以施莱夫利符号{2,p,...,q}表示

多维面形

施莱夫利 {2,p,q}	考克斯特符号	胞 {2,p}π/q	面 {2}π/p,π/q	边	顶点	顶点图 {p,q}	对称性	对偶多胞形
{2,3,3}		4 {2,3}π/3	6 {2}π/3,π/3	4	2	{3,3}	[2,3,3]	{3,3,2}
{2,4,3}		6 {2,4}π/3	12 {2}π/4,π/3	8	2	{4,3}	[2,4,3]	{3,4,2}
{2,3,4}		8 {2,3}π/4	12 {2}π/3,π/4	6	2	{3,4}	[2,4,3]	{4,3,2}
{2,5,3}		12 {2,5}π/3	30 {2}π/5,π/3	20	2	{5,3}	[2,5,3]	{3,5,2}
{2,3,5}		20 {2,3}π/5	30 {2}π/3,π/5	12	2	{3,5}	[2,5,3]	{5,3,2}

相关几何体

多香肠面形

球面上的三角香肠面形

多香肠面形（lucanicohedron）又称为截半多面形（rectified hosohedron）是一种半正则地区图，源自于多面形，其结构为两个多边形底面以类似多边形二面体的方式贴合，但贴合的棱处加上二角形的侧面所构成的正则地区图，名称lucanicohedron源自于这种立体以二角形在侧面循环有如香肠串一般，因此取香肠的希腊语λουκάνικο作为字首lucanico-结合多面体字尾-hedron构成的复合词。

多香肠面形是多面形或多边形二面体经截半变换的结果。

参见

• 多面体
• 多胞形
• 多胞体

参考文献

• Coxeter, H.S.M; Regular Polytopes (third edition). Dover Publications Inc. ISBN 0-486-61480-8
• 埃里克·韦斯坦因. Hosohedron. MathWorld.