半单模

在模论中，一个环 $A$ 上的左模 $M$ 若可表为单模的直和，便称 $M$ 为半单模。

本条目中的环皆有乘法单位元素 $1$。对于右模，相应的陈述依然成立。

等价定义

以下陈述彼此等价：

• $M$ 是单模的和。
• $M$ 是其单子模的和。
• 对每个子模 $N\subset M$，存在子模 $N'\subset M$ 使得 $M=N\oplus N'$。

性质

• 若 $M$ 是半单模，则其子模与商模亦然。
• 若 $M_{i}$ 是半单模，则 $\bigoplus _{i}M_{i}$ 亦然。

半单环

借由环的乘法运算，每个环 $A$ 都可视为左（或右） $A$-模。若 $A$ 是半单 $A$-模，则称 $A$ 为半单环。可以证明：环 $A$ 是半单左模若且唯若它是半单右模。半单环必然兼为诺特环与阿廷环。

半单环的角色之一，在于半单环 $A$ 上的模都是半单模，而且任何单左模都可嵌入 $A$ 中，成为其极小左理想。这遂大大便利了对 $A$-模结构的研究。

对于非交换环，单环未必是半单环，尽管术语上引人如此联想。

例子

• 若 $k$ 为域、$G$ 为 $n$ 阶有限群，则群代数 $k[G]$ 半单的充要条件是 $k$ 的特征不整除 $n$。此结果是有限群表示理论的基石。
• Artin-Wedderburn 定理给出了半单环的结构：一个环 $A$ 半单若且唯若它同构于 $M_{n_{1}}(D_{1})\times \cdots M_{n_{r}}(D_{r})$，其中每个 $D_{i}$ 皆为除环、$M_{n_{i}}(D_{i})$ 表示 $D_{i}$ 上的 $n_{i}\times n_{i}$ 矩阵代数。
• 设 $V$ 为域 $k$ 上之有限维向量空间，$A\in \mathrm {End} (V)$。则 $V$ 是多项式环 $k[X]$ 上的左模，结构由 $f(X)\cdot v:=f(A)v$ 给出。此时 $V$ 半单的充要条件是 $A$ 在代数闭包 ${\bar {k}}$ 上可对角化。

文献

• N. Bourbaki, Algèbre commutative (1983) Chapitre, VIII et IX, Masson.
• R.S. Pierce. Associative Algebras. Graduate Texts in Mathematics vol 88.
• T.Y. Lam. A First Course in Non-commutative Rings. Graduate Texts in Mathematics vol 131.