交叉格拉姆矩阵

交叉格拉姆矩阵（cross Gramian）是控制理论中的名词，会用$W_{X}$或$W_{CO}$来表示，是用来判断线性系统可控制性及可观测性的格拉姆矩阵。

针对线性的时不变线性系统

${\dot {x}}=Ax+Bu\,$

$y=Cx\,$

其交叉格拉姆矩阵定义为：

$W_{X}:=\int _{0}^{\infty }e^{At}BCe^{At}dt\,$

也是以下西尔维斯特方程的解：

$AW_{X}+W_{X}A=-BC\,$

三数组$(A,B,C)$有可控制性及可观测性若且唯若$W_{X}$为非奇异方阵（也就是说，针对任意时间$t>0$，$W_{X}$都有满秩）。

若对应系统$(A,B,C)$是对称的，也就是存在转换矩阵$J$使下式成立

$AJ=JA^{T}\,$

$B=JC^{T}\,$

则交叉格拉姆矩阵的特征值绝对值会等于汉克尔奇异值：

$|\lambda (W_{X})|={\sqrt {\lambda (W_{C}W_{O})}}.\,$

因此交叉格拉姆矩阵的奇异值分解的直接截断会允许模型降阶。

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