交叉格拉姆矩陣

交叉格拉姆矩陣（cross Gramian）是控制理论中的名詞，會用$W_{X}$或$W_{CO}$來表示，是用來判斷線性系統可控制性及可觀測性的格拉姆矩阵。

針對線性的时不变線性系統

${\dot {x}}=Ax+Bu\,$

$y=Cx\,$

其交叉格拉姆矩陣定義為：

$W_{X}:=\int _{0}^{\infty }e^{At}BCe^{At}dt\,$

也是以下西爾維斯特方程的解：

$AW_{X}+W_{X}A=-BC\,$

三數組$(A,B,C)$有可控制性及可觀測性若且唯若$W_{X}$為非奇异方阵（也就是說，針對任意時間$t>0$，$W_{X}$都有滿秩）。

若對應系統$(A,B,C)$是對稱的，也就是存在轉換矩陣$J$使下式成立

$AJ=JA^{T}\,$

$B=JC^{T}\,$

則交叉格拉姆矩陣的特征值绝对值會等於漢克爾奇異值：

$|\lambda (W_{X})|={\sqrt {\lambda (W_{C}W_{O})}}.\,$

因此交叉格拉姆矩陣的奇异值分解的直接截斷會允許模型降階。

相關條目

• 可控制性格拉姆矩陣
• 可观测性格拉姆矩阵
• 格拉姆矩陣