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开映射和闭映射

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数学拓扑学中,开映射是两个拓扑空间之间的映射,使得任何开集都是开集;闭映射是两个拓扑空间之间的映射,使得任何闭集的像都是闭集。所以f: XY是开映射(闭映射),如果X中的开集(闭集)在f下的都为Y的开集(闭集)。

开映射和闭映射的定义中,并不要求映射连续。与之比较,映射f: XY为连续映射的定义,是所有Y的开集的原像X的开集,也可等价地定义为所有Y的闭集的原像为X的闭集。虽然开映射和闭映射的定义,似较连续映射为自然,但在拓扑学中其重要性不及连续映射。

例子

  • 定义连续函数f: RRf(x)=x2,则f是闭映射,但不是开映射。
  • 任何同胚都是既开且闭及连续的。任何双射的连续映射是同胚,当且仅当映射是开映射,或等价地,当且仅当映射是闭映射。
  • X上的恒等映射是一个同胚,故为既开且闭的。但如果XY的子空间,则仅当XY中为开集(闭集)时,从XY的包含映射是开映射(闭映射)。故此映射的到达域需要指明,以辨别映射是否为开或闭映射。
  • 定义从[0,2π)到单位圆(视为R2中的圆,原点为圆心)的函数:在[0,2π)中的θ所对应的值,是单位圆上与x轴成角度θ的点。这个函数是双射连续的,所以其从单位圆到[0,2π)的逆函数是既开且闭的。这个逆函数紧致的单位圆,映射到不是紧致的区间[0,2π)。因此可见开映射和闭映射不保持紧致性,这点与连续映射不同。
  • Y离散拓扑,则任何到Y中的映射都是既开且闭,但这映射未必连续。例如从实数集R到整数整Z取整函数是既开且闭,但不是连续。
  • 对于任何拓扑空间的积X = Π Xi,由积拓扑的定义,其投射pi: XXi是开且连续的。不过这投射不一定是闭的:例如令p1: R2R是从R2x轴上的投射,并设A是函数f(x)=1/x图像,即由全部形如(x,1/x)的点构成的集合。那么AR2中的闭集,但p1(A)不是x轴中的闭集。不过若Y紧致集,则投射X × YX是闭映射。

性质

一个映射f: XY是开映射当且仅当对X中每一点x及其任何(任意小的)邻域U,都存在f(x)的邻域V使得Vf(U)。因此若fX的某个拓扑基中的元素都映射到Y的开集,则f是开映射。

开映射和闭映射的定义,可用内部算子闭包算子表达如下:设f: XY是映射。

  • f是开映射,当且仅当对任何AX,有f(A°) ⊆ f(A)°
  • f是闭映射,当且仅当对任何AX,有f(A) ⊆ f(A)

两个开映射的复合是开映射;两个闭映射的复合是闭映射,

两个开映射的是开映射,但两个闭映射的未必是闭映射。(例如取前述的投射p1: R2R,视之为两个映射fg的积,其中fx轴上的恒等函数,g是从y轴到只包含点0的集合{0}的函数。fg为闭映射,但p1不是。)

一个双射是开的当且仅当其为闭的。一个连续的双射,其逆映射是双射的既开且闭映射,反之亦然。

一个满射的开映射不一定是闭映射,同样一个满射的闭映射也不一定是开映射,

f是连续映射,且是开的或闭的,那么

f为开或闭映射的条件,对前两项只是充分条件,对第三项也是必要条件

特征定理

有些条件能协助辨别映射是否开或闭。以下列出一些这一类的定理。

闭映射引理指,从紧致集X豪斯多夫空间Y的连续映射f: XY都是闭且逆紧(紧致集的原像都为紧致)。这结果的一个变化指,局部紧致豪斯多夫空间之间的一个连续映射若为逆紧,则这映射是闭映射。

泛函分析中的开映射定理指,巴拿赫空间之间的连续线性算子若是满射,则为开映射。

复分析中的开映射定理指,在复平面连通开子集上定义的非常数全纯函数是开映射。

区域不变性定理指,两个n拓扑流形间的局部单射且连续的映射都是开映射。

参考