普朗特-迈耶膨胀扇

普朗特－迈耶膨胀扇

普朗特－迈耶膨胀扇（英语：Prandtl–Meyer expansion fan）是指超音速流绕外凸转角时所形成的膨胀扇。膨胀扇由无穷多条从尖锐转角发散、角度逐渐偏转的马赫波组成。而当转角为光滑圆角时，这一系列马赫波则反向交汇于一点。物理上，绕凸角的超音速流不可能仅穿过一条“激波”，因为那样会违背热力学第二定律。当流动穿过膨胀扇时，流速与马赫数增加，静压、温度与密度则减小。由于该过程为等熵过程，滞止性质则保持不变。

流动性质

膨胀扇由无穷多条马赫线组成，其中第一条马赫线与入流方向的夹角为$\mu _{1}=\arcsin \left({\frac {1}{M_{1}}}\right)$，最后一条马赫线与出流方向的夹角则为$\mu _{2}=\arcsin \left({\frac {1}{M_{2}}}\right)$。由于马赫线之间的夹角很小、流动转过的角度也很小，故整个过程为等熵过程。由此可以简化流动性质的计算。对等熵过程而言，滞止压强（$p_{0}$）、滞止温度（$T_{0}$）、滞止密度（$\rho _{0}$）等滞止性质为常数，因而出流性质为出流马赫数（$M_{2}$）与入流性质的函数：

${\begin{array}{lcl}{\cfrac {T_{2}}{T_{1}}}&=&{\bigg (}{\cfrac {1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{1}^{2}}{1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{2}^{2}}}{\bigg )}\\\\{\cfrac {p_{2}}{p_{1}}}&=&{\bigg (}{\cfrac {1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{1}^{2}}{1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{2}^{2}}}{\bigg )}^{\gamma /(\gamma -1)}\\\\{\cfrac {\rho _{2}}{\rho _{1}}}&=&{\bigg (}{\cfrac {1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{1}^{2}}{1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{2}^{2}}}{\bigg )}^{1/(\gamma -1)}.\end{array}}$

出流马赫数（$M_{2}$）与入流马赫数（$M_{1}$）及转角（$\theta$）之间的关系则为

$\theta =\nu (M_{2})-\nu (M_{1})\,$

其中$\nu (M)\,$为普朗特－迈耶函数。

参考文献

• Liepmann, Hans W.; Roshko, A. Elements of Gasdynamics. Dover Publications. 2001 [1957]. ISBN 0-486-41963-0. 
• Anderson, John D. Jr. Fundamentals of Aerodynamics 3rd. McGraw-Hill Science/Engineering/Math. January 2001 [1984]. ISBN 0-07-237335-0. 
• Shapiro, Ascher H. The Dynamics and Thermodynamics of Compressible Fluid Flow, Volume 1. Ronald Press. 1953. ISBN 978-0-471-06691-0.