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填充维度

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数学中 ,填充维度是一种可用于定义度量空间子集维度的概念。某种程度上,填充维度和郝斯多夫维度对偶的,因为填充维度是利用“填充”给定的子集来定义,而郝斯多夫维度是利用“覆盖”给定的子集来定义。填充维度C.Tricot Jr.在1982年引入。

定义

是度量空间且,那么对,定义维的填充前测度packing pre-measure)为

上式只是一个前测度,而非真正的测度填充测度的定义是

即填充测度是其可数覆盖的填充前测度和的最大下界。

如此一来,的填充维度定义为

示例

以下示例是填充维度与郝斯多夫维度不相等最简单的情况。

考虑序列使得。定义一系列的紧致如下:

  • 对每个)的线段,去除中间长为的开区间,以得到两个长为长为的闭区间。

现在定义。可以证明

容易知道对给定的数,我们可以取序列使得上面两个维度分别是

参见

参考资料

  • Tricot, Jr., Claude. Two definitions of fractional dimension. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1982, 91 (1): 57–74. doi:10.1017/S0305004100059119.