塑胶数

塑胶数

塑胶数
数表—无理数 $\color {blue}{\sqrt {2}}$ - $\color {blue}\varphi$ - $\color {blue}{\sqrt {3}}$ - $\color {blue}{\sqrt {5}}$ - $\color {blue}\delta _{S}$ - $\color {blue}e$ - $\color {blue}\pi$
识别
种类	无理数
符号	$\rho$
位数数列编号	A060006
性质
连分数	[1; 3, 12, 1, 1, 3, 2, 3, 2, 4, 2, 141, 80 ...]
以此为根的多项式或函数	$x^{3}-x-1=0\,$
表示方式
值	$\rho \approx$1.3247179572...
代数形式	${\sqrt[{3}]{\frac {9+{\sqrt {69}}}{18}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {9-{\sqrt {69}}}{18}}}$
二进制	1.010100110010000010110111…
八进制	1.246202672354510453326027…
十进制	1.324717957244746025960908…
十六进制	1.5320B74ECA44ADAC178897C4…

塑胶数或银数是一元三次方程 $x^{3}=x+1\,$ 的唯一一个实数根，其值为

${\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt {\frac {23}{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6}}{\sqrt {\frac {23}{3}}}}}$

约等于$1.3247179572447460259609$ （OEIS数列A060006）。

塑胶数对于佩兰数列和巴都万数列，就如黄金分割对于斐波那契数列——是两项的比的极限。它亦是最小的皮索数。

塑胶数的来源

塑胶数是方程$x^{3}=x+1\,$的唯一实数根。

对于方程$x^{3}=x+1\,$，现将等式右边变为0，即

$x^{3}-x-1=0\,$

由勘根定理可判断出该实根大小介于1与2之间，设

$x={\frac {\lambda }{y}}+y\,$，

则

$y={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {x^{2}-4\lambda }}\,$

得到

$-1-y-{\frac {\lambda }{y}}+\left(y+{\frac {\lambda }{y}}\right)^{3}=0\,$

等式两边同时乘 $y^{3}$ 得

$y^{6}+y^{4}\left(3\lambda -1\right)-y^{3}+y^{2}\left(3\lambda ^{2}-\lambda \right)+\lambda ^{3}=0\,$

令$\lambda ={\frac {1}{3}}\,$，将其带入上面方程，并设$z=y^{3}\,$，得到一个$z$的二次方程

$z^{2}-z+{\frac {1}{27}}=0\,$

解得

$z={\frac {1}{18}}\left(9+{\sqrt {69}}\right)\,$

根据$z=y^{3}\,$，得

$y^{3}={\frac {1}{18}}\left(9+{\sqrt {69}}\right)\,$

则$y$有实数解

$y={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt {\frac {23}{3}}}}}\,$

根据$y$与$\lambda$的关系，得$y={\tfrac {x}{2}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {x^{2}-{\tfrac {4}{3}}}}\,$，得$x$的实数解

$x={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt {\frac {23}{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6}}{\sqrt {\frac {23}{3}}}}}\,$