基本多边形

在数学上，每个闭曲面在几何拓扑的意义下，可以由一个偶数条边的有向多边形，把它的边成对地粘合构造出来，这样的多边形称之为基本多边形（fundamental polygon）。

这个构造可以表示成一个长为2n的字符串，一共n个不同的符号，每个符号出现两次带有指数 +1或 -1。指数 -1的符号对应于该边的定向与基本多边形的定向相反。

例子

曲面的基本多边形
球面	实球射影平面	克莱因瓶	环面

上图中标有相同字母的两条边，沿着箭头方向粘合。

球面： $AA^{-1}$ 或 $ABB^{-1}A^{-1};$
实射影平面： $AA$ 或 $ABAB;$
克莱因瓶： $ABAB^{-1}$ 或 $AABB;$
环面： $ABA^{-1}B^{-1}$ 或 $ABCA^{-1}B^{-1}C^{-1}.$

群生成元

对标准对称形状，多边形的边可以理解为一个群的生成元。然后这个多边形，写成群元素形式，成为由这些边生成的自由群上一个约束，给出有一个约束的群呈示。

因此，例如给定欧几里得平面 $\mathbb {R} ^{2}$ ，设群元素 $A$ 在这个平面上有作用 $A(x,y)=(x+1,y)$ 而 $B(x,y)=(x,y+1)$ 。则 $A,B$ 生成格 $\Gamma =\mathbb {Z} ^{2}$ ，而环面由商空间给出（一个齐性空间） $T=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}$ 。更一般地，两个生成元 $A,B$ 可用来生成一个基本平行四边形的平行四边形镶嵌。

对环面，在两个字母的自由群上的约束由 $ABA^{-1}B^{-1}=1$ 给出。这个约束平凡地包含在如上给出的平面上的作用中。另外，平面可用六边形铺满，六边形的中心形成一个六边形格。将六边形的相对等同，又得到了环面。这一回约束是 $ABCA^{-1}B^{-1}C^{-1}=1$ ，刻划了六边形格生成元在平面上的作用。

在实际中，大部分有趣的情形是具有负曲率的曲面，由群 $PSL(2,\mathbb {R} )$ 中一个离散格作用在上半平面实现。这样的格称为富克斯群（Fuchsian group）。

标准基本多边形

亏格n可定向闭曲面有如下标准基本多边形：

A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}A_{2}B_{2}A_{2}^{-1}B_{2}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}=1.\,

（不可定向）亏格n的不可定向闭曲面有如下标准基本多边形：

A_{1}A_{1}A_{2}A_{2}\cdots A_{n}A_{n}.\,

或者，不可定向曲面能由两种形式给出，亏格n 克莱因瓶与亏格n 实射影平面。亏格2n克莱因瓶由一个4n边形给出

A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}A_{2}B_{2}A_{2}^{-1}B_{2}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}=1,\,

（注意最后的 $B_{n}$ 没有上标 -1；与可定向情形比较，这个翻转是不可定向性的缘故）。亏格2n+1射影平面由一个4n+2边形给出

A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}A_{2}B_{2}A_{2}^{-1}B_{2}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}C^{2}=1.\,

最后两类情形穷尽了所有可能的不可定向曲面，这是昂利·庞加莱证明的。

紧黎曼曲面的基本多边形

一个（双曲）紧黎曼曲面的基本多边形有许多重要的性质，将曲面与它的富克斯模型（Fuchsian model）联系起来。即一个双曲紧黎曼曲面可以上半平面做为万有覆叠，从而可以表示为一个商流形H/Γ，这里 Γ是一个非阿贝尔群同构于曲面的甲板变换群（deck transformation group）。商空间的陪集有标准多边形做为代表元素。在下面，注意所有黎曼曲面都是可定向的。

度量基本多边形

给定上半平面H中一点 $z_{0}$ ，以及PSL(2,R)一个离散子群Γ 自由不连续作用在上半平面，则我们可定义度量基本多边形（metric fundamental polygon）为点集

F=\{z\in \mathbb {H} :d(z,z_{0})<d(z,gz_{0})\;\;\forall g\in \Gamma \}.\,

这里d是上半平面的双曲度量。度量基本多边形有时也称为狄里克雷区域（Dirichlet region）或沃罗诺伊多边形（Voronoi polygon）。

这个基本多边形是一个基本区（fundamental domain）。
这个基本多边形是凸集，连接这个多边形的任何两点的测地线完全包含在多边形内部。
F的直径小于或等于H/Γ的直径。特别地，F的闭包紧。
如果Γ在H中没有不动点且H/Γ紧，则F的边数有限。
多边形的每条边是一个测地线。
对多边形的每条边s，恰有另外一条边s' 使得gs=s' 对某个g属于Γ。从而这个多边形有偶数条边。
将边两两连接的群元素集合g是Γ的生成元，没有更小的集合可生成Γ。
F的闭包在Γ的作用下铺满上半平面。即 $H=\cup _{g\in \Gamma }\,g{\overline {F}}$ 这里 ${\overline {F}}$ 是F的闭包。

标准基本多边形

给定任何度量基本多边形F，用有限步可以构造另一个基本多边形，标准基本多边形（standard fundamental polygon），它具有额外一组值得注意的性质：

标准多边形的顶点都是等价的。“顶点”是说两条边相交的点。“等价”意味着每个顶点可以由Γ中某个g变到任何其它一个顶点。
边数可被4整除。
Γ中一个给定元素g至多将多边形的一条边变到另一边。从而这些边可以成对标记出来。由于Γ的作用保持定向，如果一条边为 $A$ ，则这一对中另一个可以标记为相反的方向 $A^{-1}$ 。
可以安排标准多边形的边，使得相邻边取形式 $A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}A_{2}B_{2}A_{2}^{-1}B_{2}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}$ 。这就是说边对可安排成以这样的方式相间出现。
标准多边形是凸集。
边可以安排成测地线。

上面的构造足够保证多边形的每条边在流形H/Γ中是一个闭（非平凡）环路。就其本身而言，每条边可以为基本群 $\pi _{1}(\mathbb {H} /\Gamma )$ 中一个元素。特别地，基本群 $\pi _{1}(\mathbb {H} /\Gamma )$ 有2n个生成元素 $A_{1},B_{1},A_{2},B_{2},\cdots A_{n}B_{n}$ ，由一个约束定义，

A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}A_{2}B_{2}A_{2}^{-1}B_{2}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}=1.\,

所得流形H/Γ的亏格是n。

例子

度量基本多边形与标准多边形通常有不同的边数。比如，环面的标准基本多边形是一个基本平行四边形（fundamental parallelogram）。相比而言，度量基本多边形有六条边，是一个六边形。只需注意到六边形的边垂直平分平行四边形的边就可以看出来。这就是，取格中一点，然后考虑连接这点与邻点的直线之集合。每个这样的线被另一条垂直线平分，被这样的第二个线集合围住的最小的空间是一个六边形。

事实后，上一个构造一般都可行：取一点x，然后对Γ中g，考虑x与gx之间的测地线。平分这些测地线是另一个曲线集合，这些点的轨迹与x和gx距离相等。由第二个线集合围住的最小区域是度量基本多边形。

面积

标准基本多边形的面积是 $4\pi (n-1)$ ，这里n是黎曼曲面的亏格（等价于4n是多边形的边数）。由于标准多边形是H/Γ的一个代表，黎曼曲面的整个面积等于标准多边形的面积。这个面积公式由高斯-博内定理得出，在某种意义下黎曼-赫尔维茨公式（Riemann-Hurwitz formula）是其推广。

标准多边形的具体形式

对标准多边形可以给出具体表达式。一个更有用的形式是使用与这个标准多边形关联的群 $\Gamma$ 。对一个亏格n定向曲面，群可由2n格生成元 $a_{k}$ 给出。这些生成元由下列分式线性变换作用在上半平面给出。

对 $0\leq k<2n$ ：

a_{k}=\left({\begin{matrix}\cos k\alpha &-\sin k\alpha \\\sin k\alpha &\cos k\alpha \end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}e^{p}&0\\0&e^{-p}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}\cos k\alpha &\sin k\alpha \\-\sin k\alpha &\cos k\alpha \end{matrix}}\right)

参数由

\alpha ={\frac {\pi }{4n}}\left(2n-1\right)

和

\beta ={\frac {\pi }{4n}}

以及

p=\ln {\frac {\cos \beta +{\sqrt {\cos 2\beta }}}{\sin \beta }}

给出。可以验证这些生成元服从约束

a_{0}a_{1}\cdots a_{2n-1}a_{0}^{-1}a_{1}^{-1}\cdots a_{2n-1}^{-1}=1,\,

这给出整个群呈示。

推广

在高维，基本多变形的想法体现为齐性空间。

另见

参考文献

Alan F. Beardon, The Geometry of Discrete Groups (1983), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90788-2.
Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4.
Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X.

查论编多边形
1–10边	一角形二角形三角形正三角形直角三角形等腰三角形不等边三角形四边形正方形矩形菱形鹞形梯形平行四边形五边形六边形七边形八边形九边形十边形
11–20边	十一边形十二边形十三边形十四边形十五边形十六边形十七边形十八边形十九边形二十边形
21–100边（部分的）	二十一边形（日语：二十一角形）二十二边形（日语：二十二角形）二十三边形（英语：Icositrigon）二十四边形三十边形（英语：Triacontagon）四十边形（西班牙语：Tetracontágono）五十边形（西班牙语：Pentacontágono）六十边形（日语：六十角形）七十边形（日语：七十角形）八十边形（日语：八十角形）九十边形（日语：九十角形）一百边形（西班牙语：Hectágono）
>100边	二百五十七边形一千边形一万边形（英语：Myriagon）六万五千五百三十七边形十万边形（匈牙利语：Százezerszög）一百万边形四十二亿九千四百九十六万七千二百九十五边形无限边形超无限边形
复多边形	复八边形莫比乌斯-坎特八边形
其他	空多胞形零角形扭歪无限边形
星形多边形	五角星六角星七角星八角星九角星十角星十一角星十二角星无限角星
分类	凸多边形凹多边形星形多边形正多边形退化多边形基本多边形简单多边形复杂多边形扭歪多边形复多边形星状多边形等边多边形等角多边形平行多边形圆外切多边形圆内接多边形可作图多边形双心多边形