凹多边形

凹多边形是几何学的名词，为多边形分类中的一类。其特征为至少有一个内角介于 $\ 180^{\circ }$ 与 $\ 360^{\circ }$ 之间（这种角又称作优角）^[1]。注意上述的内角角度不包含 $\ 180^{\circ }$ 与 $\ 360^{\circ }$ ，因为会属于另外一种多边形——退化多边形。

前置知识

简单多边形是其任何边都不会与自身相交的多边形，而简单多边形可以根据凹凸性再分成凸多边形（英语：convex polygon）与凹多边形（英语：concave polygon）两类。

不同的理解角度

初等几何学与几何学对于凹多边形的定义有所差异。初等几何学只讨论在简单多边形当中的凹多边形，如前一小节所述。

而在几何学的正式定义中，凹多边形是非凸的 （英语：non-convex）多边形^[2]。换言之，因为没有简单多边形的限制，在后者的定义中，星形多边形也是一种凹多边形。^[3]

另外凹多边形亦有文献称为凹角的多边形 （英语：reentrant polygon）^[4]。

简单多边形的内角和

当我们要计算一个 $\ n\$ 多边形的内角和，无论它是凸多边形还是凹多边形，其内角和皆为 $\ 180^{\circ }\times (n-2)$ 。这是因为凹多边形可以用对角线适当分割成数个凸多边形，可行的算法由 Chazelle 和 Dobkin 在 1985 年提出，此算法可以将任意凹多边形分解成最少数量的凸多边形^[5]。

参见

参考文献

^ Definition and properties of concave polygons with interactive animation.. [2018-12-02]. （原始内容存档于2017-07-26）.
^ Leff, Lawrence, Let's Review: Geometry, Hauppauge, NY: Barron's Educational Series: 66, 2008, ISBN 978-0-7641-4069-3
^ Terr. ConcavePolygon. mathworld. [2023-03-09]. （原始内容存档于2023-01-22）.
^ Mason, J.I., On the angles of a polygon, The Mathematical Gazette (The Mathematical Association), 1946, 30 (291): 237–238, JSTOR 3611229, doi:10.2307/3611229 .
^ Chazelle, Bernard; Dobkin, David P., Optimal convex decompositions, Toussaint, G. T. (编), Computational Geometry (PDF), Elsevier: 63–133, 1985 [2018-12-02], （原始内容 (PDF)存档于2019-01-26） .

外部链接

Terr, David; Weisstein, Eric W. Concave Polygon. MathWorld.

[MOR-1] Definition and properties of concave polygons with interactive animation.. [2018-12-02]. （原始内容存档于2017-07-26）.

[2] Leff, Lawrence, Let's Review: Geometry, Hauppauge, NY: Barron's Educational Series: 66, 2008, ISBN 978-0-7641-4069-3

[3] Terr. ConcavePolygon. mathworld. [2023-03-09]. （原始内容存档于2023-01-22）.

[4] Mason, J.I., On the angles of a polygon, The Mathematical Gazette (The Mathematical Association), 1946, 30 (291): 237–238, JSTOR 3611229, doi:10.2307/3611229 .

[5] Chazelle, Bernard; Dobkin, David P., Optimal convex decompositions, Toussaint, G. T. (编), Computational Geometry (PDF), Elsevier: 63–133, 1985 [2018-12-02], （原始内容 (PDF)存档于2019-01-26） .

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查论编多边形
1–10边	一角形二角形三角形正三角形直角三角形等腰三角形不等边三角形四边形正方形矩形菱形鹞形梯形平行四边形五边形六边形七边形八边形九边形十边形
11–20边	十一边形十二边形十三边形十四边形十五边形十六边形十七边形十八边形十九边形二十边形
21–100边（部分的）	二十一边形（日语：二十一角形）二十二边形（日语：二十二角形）二十三边形（英语：Icositrigon）二十四边形三十边形（英语：Triacontagon）四十边形（西班牙语：Tetracontágono）五十边形（西班牙语：Pentacontágono）六十边形（日语：六十角形）七十边形（日语：七十角形）八十边形（日语：八十角形）九十边形（日语：九十角形）一百边形（西班牙语：Hectágono）
>100边	二百五十七边形一千边形一万边形（英语：Myriagon）六万五千五百三十七边形十万边形（匈牙利语：Százezerszög）一百万边形四十二亿九千四百九十六万七千二百九十五边形无限边形超无限边形
复多边形	复八边形莫比乌斯-坎特八边形
其他	空多胞形零角形扭歪无限边形
星形多边形	五角星六角星七角星八角星九角星十角星十一角星十二角星无限角星
分类	凸多边形凹多边形星形多边形正多边形退化多边形基本多边形简单多边形复杂多边形扭歪多边形复多边形星状多边形等边多边形等角多边形平行多边形圆外切多边形圆内接多边形可作图多边形双心多边形