代数曲线

在代数几何中，一条代数曲线是一维的代数簇。最典型的例子是射影平面$\mathbb {P} ^{2}$上由一个齐次多项式$f(X,Y)$定义的零点。

仿射曲线

定义在域$F$上的仿射代数曲线可以看作是$F^{n}$中由若干个$n$-元多项式$g_{i}\in F[x_{1},\ldots ,x_{n}]$定义的公共零点，使得其维数为一。

利用结式，我们可以将变数消至两个，并化约到与之双有理等价的平面代数曲线$f(x,y)=0$，其中$f\in F[x,y]$，因此在探讨曲线的双有理几何时仅须考虑平面曲线。

射影曲线

射影空间中的曲线可视作仿射曲线的紧化，它们带有更好的几何性质。在以上考虑的方程$g_{i}=0$（$i=1,\ldots ,n-1$）中，我们作代换：

$g_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})\longrightarrow (X_{0})^{\deg g_{i}}g_{i}\left({\frac {X_{1}}{X_{0}}},\ldots ,{\frac {X_{n}}{X_{0}}}\right)$

遂得到$n-1$个齐次多项式，它们在射影空间$\mathbb {P} _{F}^{n}$中定义一条曲线，此射影曲线与开集$U_{0}:=\{(X_{0}:\cdots :X_{n})|X_{0}\neq 0\}$的交集同构于原曲线。射影曲线的例子包括$\mathbb {P} _{\mathbb {Q} }^{3}$中的费马曲线$X^{n}+Y^{n}+Z^{n}=0$，其上的有理点对应到费马方程$X^{n}+Y^{n}=Z^{n}$的互素整数解。

代数函数域

更多信息：函数域

代数曲线之研究可化约为不可约代数曲线之研究，后者的范畴在双有理等价之意义下等价于代数函数域范畴。域$F$上的函数域$K$是超越次数为一的有限型域扩张，换言之：存在元素$x\in K$使得$x$在$F$上超越，而且$K/F(x)$是有限扩张。

以复数域$\mathbb {C}$为例，我们可以定义复系数有理函数域$\mathbb {C} (x)$。变元$x,y$对代数关系$y^{2}=x^{3}-x-1$生成的域$\mathbb {C} (x,y)$是一个椭圆函数域，代数曲线$\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{2}=x^{3}-x-1\}$ 给出它的一个几何模型。

若基域$F$非代数封闭域，则函数域无法只由多项式的零点描述，因为此时存在无点的曲线。例如可取实数域$F:=\mathbb {R}$并考虑其上的代数曲线$x^{2}+y^{2}+1=0$，此方程定义了一个$\mathbb {R} [x]$的有限扩张，因而定义了一个函数域，然而

$\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}+1=0\}=\emptyset$

代数封闭域上的代数曲线可以用代数簇完整地描述，对于一般的基域或者环上的曲线论，概形论能提供较合适的框架。

复代数曲线与黎曼曲面

更多信息：黎曼曲面

复射影曲线可以嵌入$n$维复射影空间$\mathbb {C} P^{n}$。复射影曲线在拓扑上为二维的对象，当曲线光滑时，它是个紧黎曼曲面，即一维的紧复流形，因而是可定向的二维紧流形。这时该曲面的拓扑亏格（直观说就是曲面有几个洞或把手）等同于曲线上由代数几何学定义的亏格。视这类曲线为黎曼曲面，则可以采复分析手法加以研究。另一方面，黎曼则证明了任何紧黎曼曲面都同构于一条复射影曲线。

于是我们有三个相互等价的范畴：复数域上的不可约平滑射影曲线、紧黎曼曲面与$\mathbb {C}$上的函数域。因此一维复分析（包括位势论）、代数几何与域论的方法此时能相互为用，这是高等数学里很常见的现象。

奇点

判断方式

曲线在一点$P$的平滑性可以用雅可比矩阵判断。以下考虑嵌于$\mathbb {P} ^{n}$中的曲线：设该曲线由$n-1$个$n+1$个变元的齐次多项式$g_{1},\ldots ,g_{n-1}$定义，若其雅可比矩阵$\left({\frac {\partial g_{i}}{\partial x_{j}}}\right)_{i,j}$在区线上一点$P$满秩，则称它$P$点光滑；反之则称为奇点。在一点的平滑性与多项式$g_{1},\ldots ,g_{n-1}$的选取无关，也与曲线的嵌入方式无关。

在平面射影曲线的例子，假设曲线$C$由齐次方程式$f(x,y,z)=0$定义，则$C$的奇点恰为$C$上使得$\nabla f$为零的点，即：

${\frac {\partial f}{\partial x}}(P)={\frac {\partial f}{\partial y}}(P)={\frac {\partial f}{\partial z}}(P)=0\quad (P\in C)$

在特征非零的域上，一条代数曲线仅有有限个奇点；无奇点的曲线即平滑曲线。奇点在双有理映射下可能映为光滑点；事实上，奇点总是可借着平面的拉开映射或正规化解消，由此得到的新平滑曲线仍双有理等价于原曲线；然而对代数封闭域上的射影曲线，其奇点总数则关系到曲线的几何亏格，后者是个双有理不变量。

奇点分类

x³ = y²

曲线的奇点包括多重点（这是曲线的自交点）及尖点（如仿射曲线$x^{3}=y^{2}$之于原点$(0,0)$，见右图）等等。一般来说，仿射平面曲线$f(x,y)=0$在一点$P$的奇点性质可以透过下述方式理解：

透过平移，不妨假设$P=(0,0)$。将多项式$f(x,y)$写成

$f(x,y)=\sum _{n\geq 1}f_{n}(x,y)$

其中$f_{n}(x,y)$是$n$次齐次多项式。直观地想像，$f(x,y)=0$在原点附近的性状仅决定于最低次的非零项，设之为$f_{m}(x,y)$。根据齐次性可以将之分解成

$f_{m}(x,y)=\prod _{i=1}^{m}(a_{i}x-b_{i}y)$

换言之，曲线在原点附近将近似于$m$条（含重复）直线$a_{i}x-b_{i}y=0$的联集。上式中相异的直线数$r$称作分支数，正整数$m$称作平面曲线在该点的重数，此外还有一个内在的不变量$\delta _{P}:=\dim {\mathcal {O}}_{{\tilde {C}},P}/{\mathcal {O}}_{C,P}$，其中${\tilde {C}}\rightarrow C$是该曲线的正规化态射。资料[m, δ, r]能够被用来分类奇点。例如一般尖点对应到$[2,1,1]$，一般双重点对应到$[2,1,2]$，而一般n重点则对应到$[n,{\frac {n(n-1)}{2}},n]$。

各奇点的不变量δ_P决定平面曲线$f(x,y)=0$的亏格：设$\deg f=d$，则有

$g={\frac {1}{2}}(d-1)(d-2)-\sum _{P}\delta _{P},$

对于在复数域上的平面曲线，John Milnor以拓扑方式定义了不变量μ，称为Milnor数：同样假设$P=(0,0)$，在原点附近够小的四维球$B_{\epsilon }:=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:|x|^{2}+|y|^{2}<\epsilon \}$内有$(x,y)\neq (0,0)\Rightarrow \nabla f(x,y)\neq 0$，此时有连续映射

$\nabla f(x,y):B_{\epsilon }-\{(0,0)\}\rightarrow B_{\epsilon }-\{(0,0)\}$

由于$B_{\epsilon }-\{(0,0)\}$ 同伦等价于三维球面$\mathbb {S} ^{3}$，于是可定义μ为此映射的拓扑次数。μ与前述不变量的关系由下式表明：

$\mu =2\delta -r+1$

事实上，$\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:f(x,y)=0\}\cap \{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:|x|^{2}+|y|^{2}=\epsilon \}$在ε够小时是$\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:|x|^{2}+|y|^{2}=\epsilon \}\cong \mathbb {S} ^{3}$中的一个环圈，称作奇点环圈，它具有复杂的拓扑性质。例如：$x^{3}=y^{2}$在尖点附近的奇点环圈是三叶结。

曲线的例子

有理曲线

域$F$上的有理曲线是双有理等价于射影直线$\mathbb {P} _{F}^{1}$的曲线，换言之，其函数域同构于单变元有理函数域$F(t)$。当$F$代数封闭时，这也等价于该曲线之亏格为零，对一般的域则不然；实数域上由$x^{2}+y^{2}+1=0$给出的函数域亏格为零，而非有理函数域。

具体地说，一条有理曲线是能以有理函数参数化的曲线，例子请见条目有理正规曲线。

任何$F$上有有理点的圆锥曲线都是有理曲线。参数化的过程如下：过给定有理点$P$而斜率为$t$的直线交平面上一条二次曲线于两点，就x坐标来说，交点的x坐标是一个二次多项式的根，其中一个属于$F$的根已知，即$P$的x坐标；因此透过根与系数的关系得知另一根也属于$F$，而且能表作$t$在$F$上的有理函数。y坐标的作法相同。

x² + xy + y² = 1

例。考虑斜椭圆$E:x^{2}+xy+y^{2}=1$，其中$(-1,0)$是有理点。画一条过该点且斜率为t之直线$y=t(x+1)$，并带入E的等式，于是得到：

$x={\frac {1-t^{2}}{1+t+t^{2}}}$。

$y=t(x+1)={\frac {t(t+2)}{1+t+t^{2}}}$

这就给出E的有理参数化，于是证明了E是有理曲线。

将此结果置于射影几何的框架下，则能导出若干数论的结论。例如我们可在E中加入无穷远点，得到射影曲线

$X^{2}+XY+Y^{2}=Z^{2}\,\!$

以上参数化遂表为

$X=1-t^{2},\quad Y=t(t+2),\quad Z=t^{2}+t+1\,\!$

若取$t$为整数，对应的$X,Y,Z$是不定方程$X^{2}+XY+Y^{2}=Z^{2}$的整数解；若将$X$代以$-X$，则此方程诠释为θ=60°时的余弦定理，借此能描述所有一角为 60°且边长均为整数的三角形，例如取$t=2$，就得到边长分别为X=3, Y=8, Z=7的三角形。

椭圆曲线

更多信息：椭圆曲线

椭圆曲线可以定义为任意亏格等于一且给定一个有理点的代数曲线，它们都同构于平面上的三次曲线。此时通常取无穷远处的反曲点为给定的有理点，这时该曲线可以写作射影版本的Tate-魏尔施特拉斯形式：

$y^{2}z+a_{1}xyz+a_{3}yz^{2}=x^{3}+a_{2}x^{2}z+a_{4}xz^{2}+a_{6}z^{3}.\,\!$

椭圆曲线带有唯一的阿贝尔群结构，使得给定有理点为单位元素，且加法为代数簇的态射，因而椭圆曲线构成一个阿贝尔簇。在三次平面曲线的情形，三点和为零当且仅当它们共线。对于复数域上的椭圆曲线，此阿贝尔簇同构于$\mathbb {C} /\Lambda$，其中的$\Lambda$由相应的椭圆函数给出。

亏格大于一的曲线

对亏格大于一的曲线，其性质与有理曲线与椭圆曲线有显著不同。根据法尔廷斯定理，定义在数域上的这类曲线只有有限个有理点；若视为黎曼曲面，它们则带有双曲几何的结构。例子包括超椭圆曲线、克莱因四次曲线与一开始提到的费马曲线在$n\geq 4$的情形。

文献

• Egbert Brieskorn and Horst Knörrer, Plane Algebraic Curves, John Stillwell, trans., Birkhäuser, 1986
• Claude Chevalley, Introduction to the Theory of Algebraic Functions of One Variable, American Mathematical Society, Mathematical Surveys Number VI, 1951
• Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces, Springer, 1980
• Phillip A. Griffiths, Introduction to Algebraic Curves, Kuniko Weltin, trans., American Mathematical Society, Translation of Mathematical Monographs volume 70, 1985 revision
• Robin Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer, 1977
• Shigeru Iitaka, Algebraic Geometry: An Introduction to the Birational Geometry of Algebraic Varieties, Springer, 1982
• John Milnor, Singular Points of Complex Hypersurfaces, Princeton University Press, 1968
• George Salmon, Higher Plane Curves, Third Edition, G. E. Stechert & Co., 1934
• Jean-Pierre Serre, Algebraic Groups and Class Fields, Springer, 1988