p-群

在數學中的群論中，給定一質數 $p$ ，$p$-群（英語：p-group）是每個元素的階都是 $p$ 的次方的一個群 $G$ ；換言之，對每個 $G$ 中的 $g$ ，存在一個正整數 $n$ 使得 $g$ 的 $p^{n}$ 次方等於單位元素， $g^{(p^{n})}=e$ 而對小於 $p^{n}$ 的其他正整數 $m$ 則有 $g^{m}\neq e$。

若 $G$ 有限，則上述定義等價於 $G$ 的階為 $p$ 的次方。有限 $p$-群的結構已被深入研究，其中一個使用類方程的標準結論為一個非平凡有限 $p$-群的中心不可能為一個平凡子群。一個 $p^{n}$ 階的 $p$-群會包含著 $p^{i}$ 階的子群，其中 $0\leq i\leq n$ 。更一般性地，每一個有限 $p$-群都會是冪零群，因而都是可解群。

有相同階的p-群不一定會互相同構；例如，循環群C₄和克萊因四元群都是4階的2-群，但兩者並不同構。一個p-群不一定要是阿貝爾群；如8階的二面體群即為一個非可換2-群。（但每個p²階的群都會是可換的。）

以趨進的觀點來看，幾乎所有的有限群都會是p-群。實際上，幾乎所有的有限群都是2-群：2-群的同構類與其階至多為n之群的同構類的比例在當n趨進於無限大時會趨進於1。例如，其階至多為2000的所有不同的群會有99%為1024階的2-群。

每一個非當然有限群都會包括一個為非當然p-群之子群。詳述請見西洛定理。

無限群的例子，見普呂弗群。

性質

$p$-群中，所有元素的階都是有限的，因此$p$-群是週期群

另見

• 冪零群
• 西洛子群
• 普呂弗秩
• 超特別群